媒質1から媒質2へ平面波が入射し、波面が境界面となす角度が60°から30°に変化した。媒質1での波の速さは5.1 m/s、振動数は17 Hzである。√3 = 1.7とする。このとき、以下の量を求める。 (1) 入射角 $i$ [°]と屈折角 $r$ [°] (2) 媒質1に対する媒質2の屈折率 $n_{12}$ (3) 媒質2での波の速さ $v_2$ [m/s] (4) 媒質1での入射波の波長 $\lambda_1$ [m]と媒質2での屈折波の波長 $\lambda_2$ [m]

1. 問題の内容

媒質1から媒質2へ平面波が入射し、波面が境界面となす角度が60°から30°に変化した。媒質1での波の速さは5.1 m/s、振動数は17 Hzである。√3 = 1.7とする。このとき、以下の量を求める。

(1) 入射角 $i$ [°]と屈折角 $r$ [°]

(2) 媒質1に対する媒質2の屈折率 $n_{12}$

(3) 媒質2での波の速さ $v_2$ [m/s]

(4) 媒質1での入射波の波長 $\lambda_1$ [m]と媒質2での屈折波の波長 $\lambda_2$ [m]

2. 解き方の手順

(1) 入射角 $i$ と屈折角 $r$ は、波面が境界面となす角の余角として求められる。

$i = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

$r = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

(2) 屈折の法則より、媒質1に対する媒質2の屈折率 $n_{12}$ は、

$n_{12} = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\sin 30^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sqrt{3}=1.7$を使うと、

$n_{12} = \frac{1.7}{3} = 0.566...$

有効数字2桁で表すと、 $n_{12} = 0.57$

(3) 媒質1での波の速さを $v_1$、媒質2での波の速さを $v_2$とすると、

$n_{12} = \frac{v_1}{v_2}$

$v_2 = \frac{v_1}{n_{12}} = \frac{5.1}{0.566...} = \frac{5.1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 5.1\sqrt{3} = 5.1 \times 1.7 = 8.67$

有効数字2桁で表すと、$v_2 = 8.7$ m/s

(4) 波の基本式 $v = f \lambda$ より、波長 $\lambda$ は $\lambda = \frac{v}{f}$ で求められる。

媒質1での波長 $\lambda_1$ は、

$\lambda_1 = \frac{v_1}{f} = \frac{5.1}{17} = 0.3$ m

媒質2での波長 $\lambda_2$ は、

$\lambda_2 = \frac{v_2}{f} = \frac{8.67}{17} = 0.51$ m

$v_2 = \frac{5.1}{n_{12}}$を使うと、

$\lambda_2 = \frac{v_2}{f} = \frac{v_1}{f n_{12}} = \frac{v_1}{f} \frac{1}{n_{12}} = \lambda_1 \frac{1}{n_{12}} = 0.3 \sqrt{3} = 0.3 \times 1.7 = 0.51$ m

3. 最終的な答え

(1) 入射角 $i = 30^\circ$、屈折角 $r = 60^\circ$

(2) 屈折率 $n_{12} = 0.57$

(3) 媒質2での速さ $v_2 = 8.7$ m/s

(4) 媒質1での波長 $\lambda_1 = 0.30$ m、媒質2での波長 $\lambda_2 = 0.51$ m