与えられた4つの数学の問題を解く。 * 問題1：$\frac{3}{7} \div \frac{4}{21} - (-2)^3$ を計算する。 * 問題2：連立方程式 $\begin{cases} x+2y = -7 \\ ay-bx = 1 \end{cases}$ と $\begin{cases} ax-by = -11 \\ x-2y = 1 \end{cases}$ が同じ解を持つとき、$a$ と $b$ の値を求める。 * 問題3：Aの袋に2, 3, 6, 8のカード、Bの袋に3, 4, 6, 9のカードが入っている。A, Bから1枚ずつ引いたカードの積が3の倍数となる確率を求める。 * 問題4：関数 $y = ax^2$ と $y = bx + 4$ ($b > 0$) について、$x$ の変域 $-1 \le x \le 2$ のとき、$y$ の変域が同じになる。$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた4つの数学の問題を解く。

* 問題1：$\frac{3}{7} \div \frac{4}{21} - (-2)^3$ を計算する。

* 問題2：連立方程式 $\begin{cases} x+2y = -7 \\ ay-bx = 1 \end{cases}$ と $\begin{cases} ax-by = -11 \\ x-2y = 1 \end{cases}$ が同じ解を持つとき、$a$ と $b$ の値を求める。

* 問題3：Aの袋に2, 3, 6, 8のカード、Bの袋に3, 4, 6, 9のカードが入っている。A, Bから1枚ずつ引いたカードの積が3の倍数となる確率を求める。

* 問題4：関数 $y = ax^2$ と $y = bx + 4$ ($b > 0$) について、$x$ の変域 $-1 \le x \le 2$ のとき、$y$ の変域が同じになる。$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

* 問題1：$\frac{3}{7} \div \frac{4}{21} - (-2)^3$ の計算

* $\frac{3}{7} \div \frac{4}{21} = \frac{3}{7} \times \frac{21}{4} = \frac{3 \times 3}{4} = \frac{9}{4}$

* $(-2)^3 = -8$

* $\frac{9}{4} - (-8) = \frac{9}{4} + 8 = \frac{9}{4} + \frac{32}{4} = \frac{41}{4}$

* 問題2：連立方程式の解

まず、第二の連立方程式から$x$について解く。

$x=2y+1$を第一の連立方程式$x+2y=-7$に代入して、$2y+1+2y=-7$より、$4y=-8$となり、$y=-2$。

$y=-2$を$x=2y+1$に代入して、$x=-4+1=-3$。

よって、この連立方程式の解は$x=-3,y=-2$。

次に、$x=-3,y=-2$を二つの連立方程式に代入して、a,bについて解く。

$-3a+2b=-11$と$-2a+3b=1$というa,bについての連立方程式が得られる。

これを解くために、まず第一の式を2倍、第二の式を3倍して、aの係数を揃える。

$-6a+4b=-22$と$-6a+9b=3$が得られる。

第二の式から第一の式を引くと、$5b=25$。したがって、$b=5$。

$b=5$を$-2a+3b=1$に代入すると、$-2a+15=1$。したがって、$2a=14$となり、$a=7$。

* 問題3：確率の計算

Aの袋とBの袋からカードを引く組み合わせは $4 \times 4 = 16$ 通り。

積が3の倍数になるのは、

(2, 3), (2, 6), (2, 9)

(3, 3), (3, 4), (3, 6), (3, 9)

(6, 3), (6, 4), (6, 6), (6, 9)

(8, 3), (8, 6), (8, 9)

の11通り。

したがって、確率は $\frac{11}{16}$。

* 問題4：関数の変域

$y = ax^2$ について、$x$ の変域が $-1 \le x \le 2$ のとき、$a < 0$ ならば $y$ の最大値は $x = -1$ で $y = a$、$x = 2$ で $y = 4a$ なので、最小値は $4a$ となる。$a > 0$ ならば最小値は0、$x=2$で最大値$4a$。

$y = bx + 4$ ($b > 0$) について、$x$ の変域が $-1 \le x \le 2$ のとき、$y$ の最小値は $x = -1$ で $y = -b + 4$、最大値は $x = 2$ で $y = 2b + 4$。

$y$の変域が同じになるということなので、$a>0$の場合、$0\leq y \leq 4a$、$-b+4\leq y \leq 2b+4$なので、$0=-b+4$と$4a=2b+4$。

よって、$b=4$。$4a=8+4=12$より、$a=3$。

$a<0$の場合、$4a\leq y \leq a$。$a<0$の場合の変域は$-b+4\leq y \leq 2b+4$なので、$-b+4=4a$、$2b+4=a$。これを解くと$a=\frac{12}{7}$となり、$a<0$に矛盾する。

3. 最終的な答え

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