幅 $l$ のコの字型金属レールに導体棒が渡され、回路に垂直な磁場 $B(t) = B_0 \cos(\omega t)$ が存在する。導体棒は一定速度 $v_0$ でレール上を滑る。このとき、時刻 $t$ における誘導起電力 $V$ を表す式と、その時間変化を表すグラフをそれぞれ選択する問題です。

1. 問題の内容

幅 $l$ のコの字型金属レールに導体棒が渡され、回路に垂直な磁場 $B(t) = B_0 \cos(\omega t)$ が存在する。導体棒は一定速度 $v_0$ でレール上を滑る。このとき、時刻 $t$ における誘導起電力 $V$ を表す式と、その時間変化を表すグラフをそれぞれ選択する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 誘導起電力の式を求める。

誘導起電力は、ファラデーの電磁誘導の法則により、回路を貫く磁束の時間変化に比例します。磁束 $\Phi$ は、磁場 $B(t)$ と面積 $S$ の積で与えられます。この問題では、回路の面積 $S$ が時間とともに変化し、磁場 $B(t)$ も時間変化します。

まず、時刻 $t$ における導体棒の位置 $x$ は、$x = v_0 t$ で表されます。したがって、回路の面積 $S$ は、$S = l x = l v_0 t$ となります。

回路を貫く磁束 $\Phi(t)$ は、

$\Phi(t) = B(t) S(t) = B_0 \cos(\omega t) l v_0 t = B_0 l v_0 t \cos(\omega t)$

誘導起電力 $V(t)$ は、

$V(t) = - \frac{d\Phi(t)}{dt} = - \frac{d}{dt} (B_0 l v_0 t \cos(\omega t))$

積の微分公式を用いると、

$V(t) = - B_0 l v_0 [\cos(\omega t) + t (-\omega \sin(\omega t))] = - B_0 l v_0 \cos(\omega t) + B_0 l v_0 \omega t \sin(\omega t) = - B_0 l v_0 \cos(\omega t) + \omega l B_0 v_0 t \sin(\omega t)$

よって、誘導起電力の式は、

$V(t) = - B_0 l v_0 \cos(\omega t) + \omega l B_0 v_0 t \sin(\omega t)$

(2) 誘導起電力の時間変化のグラフを求める。

$V(t) = - B_0 l v_0 \cos(\omega t) + \omega l B_0 v_0 t \sin(\omega t)$ のグラフを考えます。

$t=0$の時、$V(0) = -B_0 l v_0$となり、負の値から始まります。

$t$が増加すると、$t\sin(\omega t)$ の項の影響が大きくなり、振幅が徐々に大きくなる振動になります。

3. 最終的な答え

誘導起電力を表す式:

$V(t) = - B_0 l v_0 \cos(\omega t) + \omega l B_0 v_0 t \sin(\omega t)$

これは選択肢の④です。

誘導起電力の時間変化を表すグラフ:

グラフの④