斜面に置かれた物体に関する問題です。静止摩擦係数と動摩擦係数が与えられ、重力加速度を $g$ とします。 問1：物体が斜面から受ける垂直抗力を求めます。 問2：物体が滑り落ちないための傾斜角 $\theta$ の条件を求めます。 問3：斜面に平行で上向きの力を加え、物体が動き始める時の力の大きさを求めます。 問4：斜面に平行で下向きの力を加え、物体が動き始める時の力の大きさを求めます。 問5：物体の重心に上向きの力を加え、斜面と加えた力のなす角が $\alpha$ である時、物体が動き始める時の力の大きさを求めます。 問6：斜面の等高線に平行な横向きの力を加え、物体が動き始める時の力の大きさを求めます。 問7：問6で動き始めた時の力を加え続ける時、物体の運動方向と等高線とのなす角の正接を求めます。 問8：問6の力を加え続け、時間 $t$ 経過後に物体が斜面上を進んだ距離を求めます。

1. 問題の内容

斜面に置かれた物体に関する問題です。静止摩擦係数と動摩擦係数が与えられ、重力加速度を $g$ とします。

問1：物体が斜面から受ける垂直抗力を求めます。

問2：物体が滑り落ちないための傾斜角 $\theta$ の条件を求めます。

問3：斜面に平行で上向きの力を加え、物体が動き始める時の力の大きさを求めます。

問4：斜面に平行で下向きの力を加え、物体が動き始める時の力の大きさを求めます。

問5：物体の重心に上向きの力を加え、斜面と加えた力のなす角が $\alpha$ である時、物体が動き始める時の力の大きさを求めます。

問6：斜面の等高線に平行な横向きの力を加え、物体が動き始める時の力の大きさを求めます。

問7：問6で動き始めた時の力を加え続ける時、物体の運動方向と等高線とのなす角の正接を求めます。

問8：問6の力を加え続け、時間 $t$ 経過後に物体が斜面上を進んだ距離を求めます。

2. 解き方の手順

問1：斜面に垂直な方向の力の釣り合いを考えます。重力の斜面に垂直な成分は $mg\cos\theta$ です。したがって、垂直抗力 $N$ は $N = mg\cos\theta$ となります。

問2：斜面に平行な方向の力の釣り合いを考えます。重力の斜面に平行な成分は $mg\sin\theta$ です。静止摩擦力は最大で $\mu mg\cos\theta$ です。したがって、滑り落ちないためには $mg\sin\theta \le \mu mg\cos\theta$ が成り立つ必要があります。これを変形すると、$\tan\theta \le \mu$ となります。

問3：斜面に平行な方向の力の釣り合いを考えます。斜面に平行な上向きの力を $F$ とします。物体が動き始める瞬間には、$F = mg\sin\theta + \mu mg\cos\theta$ が成り立ちます。

問4：斜面に平行な方向の力の釣り合いを考えます。斜面に平行な下向きの力を $F$ とします。物体が動き始める瞬間には、$F + mg\sin\theta = \mu mg\cos\theta$ が成り立ちます。したがって、$F = \mu mg\cos\theta - mg\sin\theta$ となります。ただし、$F > 0$ である必要があるので、$\mu > \tan\theta$ でないと物体は下向きの力を加えても動きません。

問5：加えた力を $F$ とします。力の水平成分は $F\sin\alpha$ で、斜面に平行な成分は $F\cos\alpha$ です。物体が斜面に沿って上向きに動き始める瞬間には、$F\cos\alpha = mg\sin\theta + \mu mg\cos\theta$ が成り立ちます。したがって、$F = \frac{mg(\sin\theta + \mu \cos\theta)}{\cos\alpha}$ となります。

問6：加えた力を $F$ とします。物体が斜面に沿って動き始める瞬間には、$F = \mu mg\cos\theta$ が成り立ちます。

問7：動き始めた瞬間に摩擦係数が $\mu'$ に変わるとします。この時、$mg\sin\theta$ は斜面下向きの力、$F$ は等高線方向に加わる力なので、運動方向と等高線のなす角の正接 $\tan \phi = mg\sin\theta/F = mg\sin\theta /(\mu'mg\cos\theta)= \frac{\sin \theta}{\mu' \cos \theta} = \frac{\tan \theta}{\mu'}$ 。

($\mu'$は動摩擦係数です)

問8：$t$経過後の移動距離ですが、加えた力と動摩擦力との差によって生じる加速度を求めます。

$F= \mu mg cos \theta$, 動き出すと摩擦係数が変わるので、$\mu mg cos \theta - \mu'mg cos \theta= ma$.

$a = \frac{(\mu - \mu')mgcos\theta}{m} = (\mu - \mu')gcos\theta$

$x= 0.5at^2 = 0.5(\mu - \mu')gcos\theta t^2$.

3. 最終的な答え

問1：$mg\cos\theta$

問2：$\tan\theta \le \mu$

問3：$mg\sin\theta + \mu mg\cos\theta$

問4：$\mu mg\cos\theta - mg\sin\theta$ (ただし、$\mu > \tan\theta$)

問5：$\frac{mg(\sin\theta + \mu \cos\theta)}{\cos\alpha}$

問6：$\mu mg\cos\theta$

問7：$\frac{\tan \theta}{\mu'}$ ($\mu'$は動摩擦係数です)

問8：$0.5(\mu - \mu')g\cos\theta t^2$