$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$, $|\vec{a} - \vec{b}| = 4$ であるとき、実数 $t$ に対して $|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値と、そのときの $t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$, $|\vec{a} - \vec{b}| = 4$ であるとき、実数 $t$ に対して $|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値と、そのときの $t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、 $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 4^2$ を計算します。

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

したがって、

$16 = 4 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 9$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 + 9 - 16 = -3$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{3}{2}$

次に、$|\vec{a} + t\vec{b}|^2$ を計算します。

$|\vec{a} + t\vec{b}|^2 = (\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (\vec{a} + t\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2t\vec{a} \cdot \vec{b} + t^2|\vec{b}|^2$

$= 4 + 2t(-\frac{3}{2}) + t^2(9) = 4 - 3t + 9t^2$

$= 9t^2 - 3t + 4 = 9(t^2 - \frac{1}{3}t) + 4$

$= 9(t - \frac{1}{6})^2 - 9(\frac{1}{36}) + 4 = 9(t - \frac{1}{6})^2 - \frac{1}{4} + 4$

$= 9(t - \frac{1}{6})^2 + \frac{15}{4}$

$|\vec{a} + t\vec{b}|^2$ は $t = \frac{1}{6}$ のときに最小値 $\frac{15}{4}$ を取ります。

したがって、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値は $\sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ です。

3. 最終的な答え

最小値：$\frac{\sqrt{15}}{2}$

$t$ の値：$\frac{1}{6}$