問題6から問題11まであります。 問題6は、与えられた数の組の最大公約数と最小公倍数を求める問題です。 問題7は、2つの正の整数の和と最大公約数が与えられたとき、その2つの数を求める問題です。 問題8は、ある自然数で160と210を割ったときの余りが与えられたとき、その自然数の中で最大のものを求める問題です。 問題9は、ある3桁の自然数を20, 24, 32で割ったときの余りが与えられたとき、その自然数の中で最小のものを求める問題です。 問題10は、ある自然数を8と12で割ったときの余りが与えられたとき、その自然数の中で最も100に近い数を求める問題です。 問題11は、1008にある自然数をかけて、ある数の2乗にしたいとき、かける自然数の中で最小のものを求める問題です。

1. 問題の内容

問題6から問題11まであります。

問題6は、与えられた数の組の最大公約数と最小公倍数を求める問題です。

問題7は、2つの正の整数の和と最大公約数が与えられたとき、その2つの数を求める問題です。

問題8は、ある自然数で160と210を割ったときの余りが与えられたとき、その自然数の中で最大のものを求める問題です。

問題9は、ある3桁の自然数を20, 24, 32で割ったときの余りが与えられたとき、その自然数の中で最小のものを求める問題です。

問題10は、ある自然数を8と12で割ったときの余りが与えられたとき、その自然数の中で最も100に近い数を求める問題です。

問題11は、1008にある自然数をかけて、ある数の2乗にしたいとき、かける自然数の中で最小のものを求める問題です。

2. 解き方の手順

**問題6**

(1) 42, 63, 189

- 42 = 2 * 3 * 7

- 63 = 3^2 * 7

- 189 = 3^3 * 7

- 最大公約数: 3 * 7 = 21

- 最小公倍数: 2 * 3^3 * 7 = 378

(2) 2 * 3 * 5, 2 * 3^2 * 5^2, 2^2 * 5

- 最大公約数: 2 * 3^0 * 5^1= 2 * 5 = 10

- 最小公倍数: 2^2 * 3^2 * 5^2 = 4 * 9 * 25 = 900

**問題7**

2つの整数を $7a$ と $7b$ (aとbは互いに素)とする。

$7a + 7b = 112$

$7(a + b) = 112$

$a + b = 16$

aとbは互いに素なので、以下の組み合わせが考えられる。

(1, 15), (3, 13), (5, 11) , (7, 9)

よって、(a, b) = (1, 15) -> (7, 105), (3, 13) -> (21, 91), (5, 11) -> (35, 77)

(7, 9) -> (49, 63)

2つの数：35と77, 49と63

**問題8**

求める自然数を $x$ とすると、

$160 = ax + 7$

$210 = bx + 6$

$ax = 153 = 3^2 * 17$

$bx = 204 = 2^2 * 3 * 17$

$x$ は $153$ と $204$ の公約数なので、$x$ = 1, 3, 17, 51。

$x$ は7より大きいので、$x = 17$ または $x = 51$。

最大のものは51。

**問題9**

求める自然数を $x$ とすると、 $x-10$ は 20, 24, 32 の公倍数。

20 = 2^2 * 5

24 = 2^3 * 3

32 = 2^5

最小公倍数 LCM(20, 24, 32) = 2^5 * 3 * 5 = 32 * 15 = 480

$x - 10 = 480k$ ($k$は整数)

$x = 480k + 10$

$x$ は3桁の整数なので、100 <= x <= 999

100 <= 480k + 10 <= 999

90 <= 480k <= 989

90/480 <= k <= 989/480

0.1875 <= k <= 2.06

k=1, 2

k=1のとき、x = 480 + 10 = 490

k=2のとき、x = 960 + 10 = 970

最小のものは490。

**問題10**

求める数を $x$ とすると、

$x = 8a + 3$

$x = 12b + 7$

$x \equiv 3 \pmod{8}$

$x \equiv 7 \pmod{12}$

$x=8a+3=12b+7$

$8a=12b+4$

$2a=3b+1$

$2a-1 = 3b$

$2a-1$ は 3 で割り切れるので、$2a-1 = 3k$

$2a = 3k+1$

k=1 -> 2a=4, a=2, x=19

k=3 -> 2a=10, a=5, x=43

k=5 -> 2a=16, a=8, x=67

k=7 -> 2a=22, a=11, x=91

k=9 -> 2a=28, a=14, x=115

よって、x = 19, 43, 67, 91, 115,...

100 に最も近い数は 91。

**問題11**

$1008 = 2^4 * 3^2 * 7$

ある自然数 $x$ をかけて、何かの数の2乗にするので、

$1008 * x = n^2$ ($n$は整数)

$2^4 * 3^2 * 7 * x = n^2$

xは7の倍数であれば、全体が平方数になる。

$x = 7$ とすると、$2^4 * 3^2 * 7^2 = (2^2 * 3 * 7)^2 = (4 * 3 * 7)^2 = 84^2$

したがって、$x = 7$。

3. 最終的な答え

問題6: (1) 最大公約数 21、最小公倍数 378 (2) 最大公約数 10、最小公倍数 900

問題7: (35, 77), (49, 63)

問題8: 51

問題9: 490

問題10: 91

問題11: 7