正四面体の4つの面に、赤、青、黄、緑の4色を1面ずつ塗るとき、異なる塗り方は何通りあるか。

1. 問題の内容

正四面体の4つの面に、赤、青、黄、緑の4色を1面ずつ塗るとき、異なる塗り方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、正四面体を固定して考えます。

底面の色を固定すると、残りの3つの側面の色を並び替える順列の数を考えればよいことになります。

3つの側面の色を並び替える順列の数は、(3-1)! = 2! = 2です。

これは、円順列の考え方を使っています。

3色の円順列は、$(3-1)! = 2! = 2 \times 1 = 2$ 通りです。

まず、底面の色を赤に固定すると、残りの3面（青、黄、緑）の並び方は2通り。

次に、底面の色を青に固定すると、残りの3面（赤、黄、緑）の並び方は2通り。

同様に、底面の色を黄に固定すると、残りの3面（赤、青、緑）の並び方は2通り。

最後に、底面の色を緑に固定すると、残りの3面（赤、青、黄）の並び方は2通り。

よって、異なる塗り方は、4 * 2 = 8通りです。

しかし、この考え方は誤りです。

正四面体の回転対称性を考慮する必要があります。まず1つの面の色を固定します。例えば、底面を赤色に固定します。すると、残りの3つの面は、青、黄、緑のいずれかの色になります。この3色の並び方は円順列で考えます。

3つの面を円順列で並べる方法は、(3-1)! = 2! = 2通りです。

最初の面の色の選び方は4通りあるので、全体の塗り方は、

$4 \times (4-1)! / 4 = (4-1)!$

4色の円順列は、

$(4-1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

となります。

3. 最終的な答え

6通り