$\angle C = 90^\circ$ である直角三角形 $ABC$ において、$\angle A = \theta$, $AB = a$ とする。頂点 $C$ から辺 $AB$ に下ろした垂線を $CD$ とするとき、次の線分の長さを $a$, $\theta$ を用いて表す。 (1) $AC$ (2) $AD$ (3) $CD$ (4) $BD$

1. 問題の内容

$\angle C = 90^\circ$ である直角三角形 $ABC$ において、$\angle A = \theta$, $AB = a$ とする。頂点 $C$ から辺 $AB$ に下ろした垂線を $CD$ とするとき、次の線分の長さを $a$, $\theta$ を用いて表す。

(1) $AC$

(2) $AD$

(3) $CD$

(4) $BD$

2. 解き方の手順

(1) $AC$ の長さを求める。

直角三角形 $ABC$ において、

$\cos \theta = \frac{AC}{AB}$

したがって、

$AC = AB \cos \theta = a \cos \theta$

(2) $AD$ の長さを求める。

直角三角形 $ADC$ において、

$\cos \theta = \frac{AD}{AC}$

したがって、

$AD = AC \cos \theta = (a \cos \theta) \cos \theta = a \cos^2 \theta$

(3) $CD$ の長さを求める。

直角三角形 $ADC$ において、

$\sin \theta = \frac{CD}{AC}$

したがって、

$CD = AC \sin \theta = (a \cos \theta) \sin \theta = a \sin \theta \cos \theta$

(4) $BD$ の長さを求める。

$BD = AB - AD = a - a \cos^2 \theta = a(1 - \cos^2 \theta) = a \sin^2 \theta$

3. 最終的な答え

(1) $AC = a \cos \theta$

(2) $AD = a \cos^2 \theta$

(3) $CD = a \sin \theta \cos \theta$

(4) $BD = a \sin^2 \theta$