問題3では、放物線 $y=2x^2$ 上の2点 A, B を通る直線 AB の式と、三角形 OAB の面積を求める。ただし、点 A の x 座標は -3, 点 B の x 座標は 2 である。 問題4では、放物線 $y=\frac{1}{3}x^2$ 上の2点 A, B を頂点とする三角形 AOB について、原点Oを通り、三角形 AOB の面積を2等分する直線の式を求める。ただし、点 A の x 座標は -9, 点 B の x 座標は 3 である。

1. 問題の内容

問題3では、放物線 $y=2x^2$ 上の2点 A, B を通る直線 AB の式と、三角形 OAB の面積を求める。ただし、点 A の x 座標は -3, 点 B の x 座標は 2 である。

問題4では、放物線 $y=\frac{1}{3}x^2$ 上の2点 A, B を頂点とする三角形 AOB について、原点Oを通り、三角形 AOB の面積を2等分する直線の式を求める。ただし、点 A の x 座標は -9, 点 B の x 座標は 3 である。

2. 解き方の手順

問題3:

* 点 A の座標を求める。A の x 座標は -3 なので、$y=2(-3)^2 = 2(9) = 18$。よって、A の座標は (-3, 18)。

* 点 B の座標を求める。B の x 座標は 2 なので、$y=2(2)^2 = 2(4) = 8$。よって、B の座標は (2, 8)。

* 直線 AB の式を求める。直線の式を $y=ax+b$ とおく。A, B の座標を代入すると、以下の連立方程式を得る。

$18 = -3a + b$

$8 = 2a + b$

* この連立方程式を解く。2式を引き算すると、$10 = -5a$ となり、$a = -2$。

$a=-2$を2番目の式に代入すると、$8 = 2(-2) + b$ より $8 = -4 + b$ なので、$b = 12$。

よって、直線 AB の式は $y = -2x + 12$。

* 三角形 OAB の面積を求める。三角形 OAB の面積は、点 O と直線 AB との距離 $h$ を高さとし、ABを底辺とすると、$面積=\frac{1}{2}*AB*h$。ここで、三角形OABの面積を座標から直接求める方法を用いる。点O(0,0), A(-3, 18), B(2, 8)なので、$面積 = \frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1| = \frac{1}{2}|(-3)(8) - (2)(18)| = \frac{1}{2}|-24 - 36| = \frac{1}{2}|-60| = \frac{1}{2}(60) = 30$

問題4:

* 点 A の座標を求める。A の x 座標は -9 なので、$y=\frac{1}{3}(-9)^2 = \frac{1}{3}(81) = 27$。よって、A の座標は (-9, 27)。

* 点 B の座標を求める。B の x 座標は 3 なので、$y=\frac{1}{3}(3)^2 = \frac{1}{3}(9) = 3$。よって、B の座標は (3, 3)。

* 三角形 OAB の面積を求める。点 O(0,0), A(-9, 27), B(3, 3)なので、$面積 = \frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1| = \frac{1}{2}|(-9)(3) - (3)(27)| = \frac{1}{2}|-27 - 81| = \frac{1}{2}|-108| = \frac{1}{2}(108) = 54$。

* 原点 O を通り、三角形 OAB の面積を2等分する直線は、線分 AB の中点を通る。線分 AB の中点 M の座標は、M$(\frac{-9+3}{2}, \frac{27+3}{2}) = M(\frac{-6}{2}, \frac{30}{2}) = M(-3, 15)$。

* 原点 O(0, 0) と点 M(-3, 15) を通る直線の式を求める。直線の式を $y=ax$ とおく。M の座標を代入すると、$15 = -3a$。したがって、$a = -5$。よって、直線の式は $y = -5x$。

3. 最終的な答え

問題3:

直線 AB の式: $y = -2x + 12$

三角形 OAB の面積: 30

問題4:

面積を2等分する直線の式: $y = -5x$