4. 直方体ABCD-EFGHにおいて、$AB=\sqrt{6}$, $AD=\sqrt{3}$, $AE=1$であるとき、 (1) $\triangle ACF$の面積を求めなさい。 (2) 点Bから$\triangle ACF$におろした垂線の長さを求めなさい。 5. 2000m離れた地上の2点をA, Bとし、山頂をCとする。$\angle CAB = 60^\circ$, $\angle CBA = 75^\circ$であり、地点Bから山頂Cを見上げる角が$30^\circ$であった。山の高さCHを求めなさい。

1. 問題の内容

4. 直方体ABCD-EFGHにおいて、$AB=\sqrt{6}$, $AD=\sqrt{3}$, $AE=1$であるとき、

(1) $\triangle ACF$の面積を求めなさい。

(2) 点Bから$\triangle ACF$におろした垂線の長さを求めなさい。

5. 2000m離れた地上の2点をA, Bとし、山頂をCとする。$\angle CAB = 60^\circ$, $\angle CBA = 75^\circ$であり、地点Bから山頂Cを見上げる角が$30^\circ$であった。山の高さCHを求めなさい。

2. 解き方の手順

4.(1)

まず、$AC$, $CF$, $AF$の長さを求める。三平方の定理より、

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{6+3} = \sqrt{9} = 3$

$CF = \sqrt{CG^2 + GF^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

$AF = \sqrt{AE^2 + EF^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{1+6} = \sqrt{7}$

$\triangle ACF$において余弦定理を用いると、

$\cos{A} = \frac{AC^2 + AF^2 - CF^2}{2 \cdot AC \cdot AF} = \frac{3^2 + (\sqrt{7})^2 - 2^2}{2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7}} = \frac{9+7-4}{6\sqrt{7}} = \frac{12}{6\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$

$\sin{A} = \sqrt{1-\cos^2{A}} = \sqrt{1-(\frac{2}{\sqrt{7}})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{7}} = \sqrt{\frac{3}{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$

$\triangle ACF = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AF \cdot \sin{A} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{7} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

4.(2)

点Bから$\triangle ACF$に下ろした垂線の長さをBHとすると、四面体B-ACFの体積は、$\frac{1}{3} \cdot \triangle ACF \cdot BH$となる。

また、四面体B-ACFの体積は、直方体の一部の体積であり、$\frac{1}{6}$の体積である。

直方体の体積は$AB \cdot AD \cdot AE = \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

よって、四面体B-ACFの体積は$\frac{1}{6} \cdot 3\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot BH$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot BH$

$BH = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

5. $\triangle ABC$において、$\angle ACB = 180^\circ - 60^\circ - 75^\circ = 45^\circ$

正弦定理より、$\frac{2000}{\sin{45^\circ}} = \frac{BC}{\sin{60^\circ}}$

$BC = \frac{2000 \cdot \sin{60^\circ}}{\sin{45^\circ}} = \frac{2000 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2000 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 1000\sqrt{6}$

$\triangle CHB$において、$\angle CBH = 30^\circ$, よって

$CH = BC \cdot \sin{30^\circ} = 1000\sqrt{6} \cdot \frac{1}{2} = 500\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

4.(1) $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

4.(2) $\frac{\sqrt{6}}{3}$

5. $500\sqrt{6}$ m