円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=3$, $BC=1$, $CD=DA=4$ であるとき、対角線BDの長さを求める問題です。

## 数学の問題

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=3$, $BC=1$, $CD=DA=4$ であるとき、対角線BDの長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、四角形ABCDが円に内接することから、向かい合う角の和が $180^{\circ}$ であることを利用します。

角Aと角C、角Bと角Dがそれぞれ向かい合う角です。

対角線BDの長さを $x$ とします。

三角形ABDと三角形BCDにおいて、余弦定理を利用します。

三角形ABDにおいて、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos{A}$

$x^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos{A}$

$x^2 = 9 + 16 - 24 \cos{A}$

$x^2 = 25 - 24 \cos{A}$ ...(1)

三角形BCDにおいて、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos{C}$

$x^2 = 1^2 + 4^2 - 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot \cos{C}$

$x^2 = 1 + 16 - 8 \cos{C}$

$x^2 = 17 - 8 \cos{C}$ ...(2)

円に内接する四角形の性質より、$A + C = 180^{\circ}$なので、$C = 180^{\circ} - A$です。

よって、$\cos{C} = \cos{(180^{\circ} - A)} = -\cos{A}$となります。

(2)式に $\cos{C} = -\cos{A}$ を代入すると、

$x^2 = 17 - 8(-\cos{A})$

$x^2 = 17 + 8\cos{A}$ ...(3)

(1)式と(3)式から$x^2$を消去します。

$25 - 24 \cos{A} = 17 + 8\cos{A}$

$8 = 32 \cos{A}$

$\cos{A} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$

(1)式に $\cos{A} = \frac{1}{4}$を代入すると、

$x^2 = 25 - 24 \cdot \frac{1}{4}$

$x^2 = 25 - 6$

$x^2 = 19$

$x = \sqrt{19}$

（$x > 0$より）

3. 最終的な答え

$\sqrt{19}$