三角形ABCにおいて、辺の長さが$a=6, b=10, c=14$であり、角Cの二等分線と辺ABの交点をDとする。以下の値を求めます。 (1) 角Cの大きさ (2) 三角形ABCの面積S (3) 三角形ABCの内接円の半径r (4) 三角形ABCの外接円の半径R (5) 線分CDの長さ

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺の長さが$a=6, b=10, c=14$であり、角Cの二等分線と辺ABの交点をDとする。以下の値を求めます。

(1) 角Cの大きさ

(2) 三角形ABCの面積S

(3) 三角形ABCの内接円の半径r

(4) 三角形ABCの外接円の半径R

(5) 線分CDの長さ

2. 解き方の手順

(1) 角Cの大きさ

余弦定理より、$cosC = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$。

$cosC = \frac{6^2 + 10^2 - 14^2}{2 \times 6 \times 10} = \frac{36 + 100 - 196}{120} = \frac{-60}{120} = -\frac{1}{2}$。

したがって、$C = 120^\circ$。

(2) 三角形ABCの面積S

三角形の面積の公式 $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ を用いる。

$S = \frac{1}{2} \times 6 \times 10 \times \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \times 60 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$

(3) 三角形ABCの内接円の半径r

$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$ より、$r = \frac{2S}{a+b+c}$。

$r = \frac{2 \times 15\sqrt{3}}{6+10+14} = \frac{30\sqrt{3}}{30} = \sqrt{3}$

(4) 三角形ABCの外接円の半径R

正弦定理より、$\frac{c}{\sin C} = 2R$。

$R = \frac{c}{2\sin C} = \frac{14}{2 \times \sin 120^\circ} = \frac{14}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3}$

(5) 線分CDの長さ

三角形ABCの面積は、三角形BCDの面積と三角形ACDの面積の和に等しい。

$S = S_{BCD} + S_{ACD}$

$15\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 6 \times CD \times \sin 60^\circ + \frac{1}{2} \times 10 \times CD \times \sin 60^\circ$

$15\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times CD \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times (6+10)$

$15\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times CD \times 16$

$15\sqrt{3} = 4\sqrt{3}CD$

$CD = \frac{15\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{15}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $C = 120^\circ$

(2) $S = 15\sqrt{3}$

(3) $r = \sqrt{3}$

(4) $R = \frac{14\sqrt{3}}{3}$

(5) $CD = \frac{15}{4}$