三角形において、$a = 7, b = 3, A = 120^\circ$ のとき、$c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形において、$a = 7, b = 3, A = 120^\circ$ のとき、$c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を利用して $c$ の値を求めます。余弦定理は以下の通りです。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

この式に与えられた値を代入します。

$7^2 = 3^2 + c^2 - 2(3)(c)\cos 120^\circ$

$49 = 9 + c^2 - 6c(-\frac{1}{2})$

$49 = 9 + c^2 + 3c$

$c^2 + 3c - 40 = 0$

この二次方程式を解きます。因数分解すると

$(c+8)(c-5) = 0$

よって、$c = -8$ または $c = 5$ となります。

$c$ は三角形の辺の長さなので、$c > 0$ である必要があります。したがって、$c = -8$ は解として不適です。

3. 最終的な答え

$c = 5$