直方体ABCD-EFGHにおいて、$AB = \sqrt{6}, AD = \sqrt{3}, AE = 1$である。 (1) $\triangle{ACF}$の面積を求める。 (2) 点Bから$\triangle{ACF}$におろした垂線の長さを求める。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、$AB = \sqrt{6}, AD = \sqrt{3}, AE = 1$である。

(1) $\triangle{ACF}$の面積を求める。

(2) 点Bから$\triangle{ACF}$におろした垂線の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle{ACF}$の面積を求める。

まず、AC, CF, AFの長さを求める。

三平方の定理より、

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3$

$CF = \sqrt{CG^2 + GF^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$AF = \sqrt{AE^2 + EF^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{1 + 6} = \sqrt{7}$

次に、$\triangle{ACF}$で余弦定理より、$\cos{A}$を求める。

$\cos{A} = \frac{AC^2 + AF^2 - CF^2}{2 \times AC \times AF} = \frac{3^2 + (\sqrt{7})^2 - 2^2}{2 \times 3 \times \sqrt{7}} = \frac{9 + 7 - 4}{6\sqrt{7}} = \frac{12}{6\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$

$\sin{A}$を求める。

$\sin^2{A} + \cos^2{A} = 1$より、

$\sin^2{A} = 1 - \cos^2{A} = 1 - (\frac{2}{\sqrt{7}})^2 = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$

$\sin{A} = \sqrt{\frac{3}{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

$\triangle{ACF}$の面積を求める。

$\triangle{ACF} = \frac{1}{2} \times AC \times AF \times \sin{A} = \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{7} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

(2) 点Bから$\triangle{ACF}$におろした垂線の長さを求める。

三角錐B-ACFの体積を考える。

この体積は、直方体の一部分であるから、簡単に計算できる。

底面を$\triangle{ABF}$とすると、高さはBCとなる。

$\triangle{ABF} = \frac{1}{2} \times AB \times AE = \frac{1}{2} \times \sqrt{6} \times 1 = \frac{\sqrt{6}}{2}$

三角錐B-ACFの体積は、$\frac{1}{3} \times \triangle{ABF} \times AD = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{6}}{2} \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{18}}{6} = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

一方、三角錐B-ACFの体積は、$\frac{1}{3} \times \triangle{ACF} \times BH$とも表せる。ここで、BHは点Bから$\triangle{ACF}$におろした垂線の長さである。

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{3} \times \frac{3\sqrt{3}}{2} \times BH$

$\sqrt{2} = \sqrt{3} \times BH$

$BH = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle{ACF}$の面積は、$\frac{3\sqrt{3}}{2}$

(2) 点Bから$\triangle{ACF}$におろした垂線の長さは、$\frac{\sqrt{6}}{3}$