円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3, BC=1, CD=DA=4であるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 対角線BDの長さを求める。 (2) 四角形ABCDの面積を求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3, BC=1, CD=DA=4であるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 対角線BDの長さを求める。

(2) 四角形ABCDの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 対角線BDの長さを求める。

三角形ABDと三角形BCDにおいて、余弦定理を用いる。

角Aと角Cは円に内接する四角形の対角なので、$A + C = 180^\circ$、つまり$C = 180^\circ - A$。

したがって、$cos C = cos(180^\circ - A) = -cos A$となる。

三角形ABDにおいて、余弦定理より

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot cos A = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot cos A = 9 + 16 - 24 cos A = 25 - 24 cos A$。

三角形BCDにおいて、余弦定理より

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot cos C = 1^2 + 4^2 - 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot cos C = 1 + 16 - 8 cos C = 17 - 8 cos C = 17 + 8 cos A$。

したがって、$25 - 24 cos A = 17 + 8 cos A$。

$32 cos A = 8$

$cos A = -8/32 = -1/4$。

$BD^2 = 25 - 24 cos A = 25 - 24(-1/4) = 25 + 6 = 31$。

よって、$BD = \sqrt{31}$。

(2) 四角形ABCDの面積を求める。

$cos A = -1/4$より、$sin^2 A + cos^2 A = 1$なので、$sin^2 A = 1 - cos^2 A = 1 - (-1/4)^2 = 1 - 1/16 = 15/16$。

よって、$sin A = \sqrt{15/16} = \sqrt{15}/4$。

四角形ABCDの面積は、$S = \triangle ABD + \triangle BCD = (1/2) \cdot AB \cdot AD \cdot sin A + (1/2) \cdot BC \cdot CD \cdot sin C$。

$sin C = sin (180^\circ - A) = sin A$なので、

$S = (1/2) \cdot 3 \cdot 4 \cdot sin A + (1/2) \cdot 1 \cdot 4 \cdot sin A = 6 sin A + 2 sin A = 8 sin A = 8 (\sqrt{15}/4) = 2\sqrt{15}$。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{31}$

(2) $2\sqrt{15}$