$\sin A : \sin B : \sin C = 5 : 4 : 6$ のとき、一番小さい角の正接の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sin A : \sin B : \sin C = 5 : 4 : 6$ のとき、一番小さい角の正接の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$\sin A : \sin B : \sin C = a : b : c$ が成り立ちます。

したがって、$a : b : c = 5 : 4 : 6$ となります。

$a = 5k, b = 4k, c = 6k$ （$k > 0$）と表すことができます。

一番小さい角は、一番短い辺の対角である角Bです。

$\cos B$ を余弦定理を用いて求めます。

$\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$

$\cos B = \frac{(6k)^2 + (5k)^2 - (4k)^2}{2(6k)(5k)} = \frac{36k^2 + 25k^2 - 16k^2}{60k^2} = \frac{45k^2}{60k^2} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$

$\cos B = \frac{3}{4}$

$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$ より、$\sin^2 B = 1 - \cos^2 B$

$\sin^2 B = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$\sin B = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ （$0 < B < \pi$ より $\sin B > 0$）

$\tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{7}}{3}$