三角形ABCにおいて、$a=2$, $c=2\sqrt{2}$, $C=135^\circ$のとき、角Bと外接円の半径Rを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=2$, $c=2\sqrt{2}$, $C=135^\circ$のとき、角Bと外接円の半径Rを求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

$\frac{2}{\sin A} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin 135^\circ}$

$\frac{2}{\sin A} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\frac{2}{\sin A} = 4$

$\sin A = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$A = 30^\circ, 150^\circ$

$a < c$より、$A < C$だから、$A=30^\circ$

$B = 180^\circ - (A+C) = 180^\circ - (30^\circ + 135^\circ) = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ$

$2R = \frac{a}{\sin A}$

$2R = \frac{2}{\sin 30^\circ} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$

$R = 2$

3. 最終的な答え

$B=15^\circ$, $R=2$