正八角形について、以下の数を求めます。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数 (3) 対角線の本数

1. 問題の内容

正八角形について、以下の数を求めます。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数

(3) 対角線の本数

2. 解き方の手順

(1) 三角形の個数

正八角形の8個の頂点から3個を選ぶ組み合わせの数が、できる三角形の個数です。これは組み合わせの公式で計算できます。

$_{8}C_{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

(2) 四角形の個数

正八角形の8個の頂点から4個を選ぶ組み合わせの数が、できる四角形の個数です。これも組み合わせの公式で計算できます。

$_{8}C_{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

(3) 対角線の本数

正n角形の対角線の本数は $\frac{n(n-3)}{2}$ で計算できます。正八角形の場合、$n=8$ です。

$\frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \times 5}{2} = 20$

3. 最終的な答え

(1) 三角形の個数：56個

(2) 四角形の個数：70個

(3) 対角線の本数：20本