直方体OADB-CGFにおいて、辺DGのGを越える延長上にDG = GHとなるように点Hをとる。直線OHと平面ABCの交点をPとする。ベクトル$OA = a, OB = b, OC = c$とするとき、ベクトル$OP$を$a, b, c$を用いて表す。

1. 問題の内容

直方体OADB-CGFにおいて、辺DGのGを越える延長上にDG = GHとなるように点Hをとる。直線OHと平面ABCの交点をPとする。ベクトル$OA = a, OB = b, OC = c$とするとき、ベクトル$OP$を$a, b, c$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、点Pは平面ABC上にあるので、実数s, t, uを用いて、

$OP = sOA + tOB + uOC$ と表せれば、

$OA + AB + BC = OC$より、$OA + OB + OC$ではないので、係数の和が１であるという条件は使えない。

しかし、平面ABC上の点は、

$OP = OA + sAB + tAC$で表せるので、$OP = a + s(b-a) + t(c-a)$。

$OP = (1-s-t)a + sb + tc$となる。

次に、点Hの位置ベクトルを考える。

$OG = OA + AD + DG = OA + OB + OC = a + b + c$

$GH = DG$なので、$OH = OG + GH = OG + DG = OG + OC = a + b + c + c = a + b + 2c$

ここで、直線OH上の点Pは実数kを用いて$OP = kOH$と表せる。

$OP = k(a + b + 2c) = ka + kb + 2kc$

上記の2つの$OP$の表現を比較すると、

$ka = (1-s-t)a$

$kb = sb$

$2kc = tc$

よって、

$k = 1-s-t$

$k = s$

$2k = t$

これらを連立して解く。

$k = s$を$k = 1 - s - t$に代入すると、$k = 1 - k - t$なので、$2k + t = 1$

また、$t = 2k$なので、$2k + 2k = 1$より、$4k = 1$

$k = \frac{1}{4}$

$s = \frac{1}{4}$

$t = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

したがって、$OP = \frac{1}{4}a + \frac{1}{4}b + \frac{1}{2}c$

3. 最終的な答え

$OP = \frac{1}{4} a + \frac{1}{4} b + \frac{1}{2} c$