直方体OADB-CGFにおいて、辺DGのGを越える延長上にDG=GHとなる点Hをとる。直線OHと平面ABCの交点をPとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ とするとき、$\vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。

1. 問題の内容

直方体OADB-CGFにおいて、辺DGのGを越える延長上にDG=GHとなる点Hをとる。直線OHと平面ABCの交点をPとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ とするとき、$\vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、点Hの位置ベクトルを求めます。

$\vec{OH} = \vec{OG} + \vec{GH}$

$\vec{OG} = \vec{OA} + \vec{AD} + \vec{DG} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

$\vec{GH} = \vec{DG} = \vec{OC} = \vec{c}$

よって、

$\vec{OH} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}$

次に、点Pは直線OH上にあるので、実数$t$を用いて

$\vec{OP} = t \vec{OH} = t(\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}) = t\vec{a} + t\vec{b} + 2t\vec{c}$

と表せる。

また、点Pは平面ABC上にあるので、実数$s, u$を用いて

$\vec{AP} = s \vec{AB} + u \vec{AC}$

と表せる。

$\vec{OP} - \vec{OA} = s(\vec{OB} - \vec{OA}) + u(\vec{OC} - \vec{OA})$

$\vec{OP} = \vec{OA} + s(\vec{OB} - \vec{OA}) + u(\vec{OC} - \vec{OA})$

$\vec{OP} = \vec{a} + s(\vec{b} - \vec{a}) + u(\vec{c} - \vec{a})$

$\vec{OP} = (1-s-u)\vec{a} + s\vec{b} + u\vec{c}$

したがって、

$t\vec{a} + t\vec{b} + 2t\vec{c} = (1-s-u)\vec{a} + s\vec{b} + u\vec{c}$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は一次独立なので、

$t = 1 - s - u$

$t = s$

$2t = u$

これらの連立方程式を解きます。

$t = s$, $u = 2t$を$t = 1 - s - u$に代入すると、

$t = 1 - t - 2t$

$4t = 1$

$t = \frac{1}{4}$

したがって、

$\vec{OP} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + 2\cdot \frac{1}{4}\vec{c} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$