問題文は、「辺の中点を頂点に重ねると、なぜ三等分点が決まるのか説明しよう。」です。図には長方形APBSと点Tが描かれています。点Pは線分ABの中点であり、線分STと線分AP、PBが交わっています。問題は、点Aと点Bがそれぞれ線分SAと線分TBの中点であるとき、線分STが辺の三等分点になっている理由を説明することを求めています。
2025/5/9
1. 問題の内容
問題文は、「辺の中点を頂点に重ねると、なぜ三等分点が決まるのか説明しよう。」です。図には長方形APBSと点Tが描かれています。点Pは線分ABの中点であり、線分STと線分AP、PBが交わっています。問題は、点Aと点Bがそれぞれ線分SAと線分TBの中点であるとき、線分STが辺の三等分点になっている理由を説明することを求めています。
2. 解き方の手順
* 長方形APBSにおいて、AP = PBである。
* 仮定より、点Aは線分SAの中点であり、点Bは線分TBの中点である。したがって、SA = 2AP、TB = 2PBとなる。
* AP = PBなので、SA = TBとなる。
* SAとTBが平行であり、かつSA=TBであるため、四角形SATBは平行四辺形である。
* ここで、線分STと線分ABの交点をOとすると、平行四辺形の性質より、線分SO = OTである。
* 次に、線分SA上に点Aがあることから、SA = 2APである。また、線分TB上に点Bがあることから、TB = 2PBである。
* 点A, Bは線分SA, TBの中点であるため、SA=2AP、TB=2PBであり、AP=PBなので、SA=TBである。
* 四角形SATBは平行四辺形であるため、線分STは線分ABの中点Oで交わる。
* 線分AB上に点Pが存在する。
* 線分SAと線分TBは平行であり、かつ、長さが等しい。したがって、四角形SATBは等脚台形である。等脚台形の対角線（SAとTB）上にAとBが位置し、それらはそれぞれの対角線の中点である。線分STは、長方形の対角線になっている。
* 点Aと点Bは線分SAとTBの中点であるという条件から、点Sと点Tが長方形の辺を三等分する点になっていることが示される。
3. 最終的な答え
点Aと点Bがそれぞれ線分SAとTBの中点であるとき、SA=2AP, TB=2PBとなり、AP=PBなのでSA=TBとなる。したがって四角形SATBは平行四辺形となり、線分STは線分ABを中点Oで交わる。したがって、点Sと点Tは、長方形の辺を三等分する点となる。