$\theta$ は鋭角であり、$\cos \theta = \frac{5}{13}$ であるとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\theta$ は鋭角であり、$\cos \theta = \frac{5}{13}$ であるとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\theta$ が鋭角であることから、$\sin \theta > 0$ および $\tan \theta > 0$ であることに注意します。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ の関係を利用して $\sin \theta$ を求めます。

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$ (∵ $\sin \theta > 0$)

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ の関係を利用して $\tan \theta$ を求めます。

$\tan \theta = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{13} \times \frac{13}{5} = \frac{12}{5}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{12}{13}$

$\tan \theta = \frac{12}{5}$