直線 $x=1$ に接し、円 $(x+2)^2 + y^2 = 1$ と外接する円 $C$ の中心 $P$ の軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $x=1$ に接し、円 $(x+2)^2 + y^2 = 1$ と外接する円 $C$ の中心 $P$ の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

円 $C$ の中心を $P(x, y)$、半径を $r$ とする。

円 $C$ が直線 $x = 1$ に接するので、$r = |x - 1|$ である。

また、円 $C$ が円 $(x+2)^2 + y^2 = 1$ と外接するので、2つの円の中心間の距離は、半径の和に等しい。

円 $(x+2)^2 + y^2 = 1$ の中心は $(-2, 0)$ で半径は $1$ である。

したがって、$P(x, y)$ と $(-2, 0)$ の距離は $|x - 1| + 1$ に等しい。

つまり、

$\sqrt{(x + 2)^2 + (y - 0)^2} = |x - 1| + 1$

$\sqrt{(x + 2)^2 + y^2} = |x - 1| + 1$

両辺を2乗すると、

$(x + 2)^2 + y^2 = (|x - 1| + 1)^2$

$(x + 2)^2 + y^2 = (x - 1)^2 + 2|x - 1| + 1$

$x^2 + 4x + 4 + y^2 = x^2 - 2x + 1 + 2|x - 1| + 1$

$y^2 = -6x - 2 + 2|x - 1|$

(i) $x \geq 1$ のとき、

$y^2 = -6x - 2 + 2(x - 1) = -4x - 4$

$y^2 = -4(x + 1)$

これは放物線ではない。このとき、$y^2 \leq 0$ となるので、$x = -1$ となり、$x \geq 1$ に矛盾する。

(ii) $x < 1$ のとき、

$y^2 = -6x - 2 + 2(1 - x) = -8x$

$x = -\frac{1}{8}y^2$

$x < 1$ より $-\frac{1}{8}y^2 < 1$ つまり、$y^2 > -8$ であるが、$y^2$ は常に0以上なので、これは常に成り立つ。

3. 最終的な答え

$x = -\frac{1}{8}y^2$ ($x < 1$)

あるいは

$y^2 = -8x$ ($x<1$)