座標平面上の3点 A(1, -4), B(3, 0), C(4, 2) が与えられている。ベクトル$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の成分表示を求め、さらに、3点 A, B, C が一直線上にあることを証明する。

1. 問題の内容

座標平面上の3点 A(1, -4), B(3, 0), C(4, 2) が与えられている。ベクトル$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の成分表示を求め、さらに、3点 A, B, C が一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の成分表示を求める。

$\overrightarrow{AB} = (Bのx座標 - Aのx座標, Bのy座標 - Aのy座標)$

$\overrightarrow{AC} = (Cのx座標 - Aのx座標, Cのy座標 - Aのy座標)$

(2) 3点 A, B, C が一直線上にあることを証明する。これは、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ が平行であること、つまり、$\overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}$ (kは実数) となる実数 k が存在することを示せばよい。

(1) の計算：

$\overrightarrow{AB} = (3 - 1, 0 - (-4)) = (2, 4)$

$\overrightarrow{AC} = (4 - 1, 2 - (-4)) = (3, 6)$

(2) $\overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}$ となる k を求める。

$(3, 6) = k(2, 4) = (2k, 4k)$

よって、$3 = 2k$ かつ $6 = 4k$。

$k = \frac{3}{2}$ となり、両方の式を満たす。したがって、$\overrightarrow{AC} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AB}$ なので、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ は平行である。

さらに、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ は点を共有するので、3点 A, B, C は一直線上にある。

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AB} = (2, 4)$

$\overrightarrow{AC} = (3, 6)$

3点 A, B, C は一直線上にある。