座標平面上の領域 $A$ は、不等式 $x^2 + y^2 \le 2$ と $x + y \ge 0$ によって定義される。点 $(x, y)$ が領域 $A$ 上を動くとき、以下の問題を解く。 (1) $4x + 3y$ の最小値を求めよ。 (2) $4x + 3y$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上の領域 $A$ は、不等式 $x^2 + y^2 \le 2$ と $x + y \ge 0$ によって定義される。点 $(x, y)$ が領域 $A$ 上を動くとき、以下の問題を解く。

(1) $4x + 3y$ の最小値を求めよ。

(2) $4x + 3y$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $k = 4x + 3y$ とおく。これは $y = -\frac{4}{3}x + \frac{k}{3}$ と変形でき、傾き $-\frac{4}{3}$、切片 $\frac{k}{3}$ の直線を表す。

$k$ の最小値を求めるには、$y = -\frac{4}{3}x + \frac{k}{3}$ が領域 $A$ と共有点を持つような $k$ の最小値を求めればよい。

領域 $A$ は円 $x^2 + y^2 = 2$ と直線 $x + y = 0$ で囲まれた領域である。

$k$ が最小となるのは、直線 $y = -\frac{4}{3}x + \frac{k}{3}$ が円 $x^2 + y^2 = 2$ と接するときである。

直線と円が接するとき、円の中心 $(0, 0)$ と直線 $4x + 3y - k = 0$ の距離が円の半径 $\sqrt{2}$ に等しくなる。

$\frac{|4(0) + 3(0) - k|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \sqrt{2}$

$\frac{|-k|}{5} = \sqrt{2}$

$|k| = 5\sqrt{2}$

$k = \pm 5\sqrt{2}$

$x+y \ge 0$ より、$y \ge -x$ であるので、領域$A$の点において、$4x+3y$が最小になるのは、$x+y=0$上で、$x<0$、$y>0$であるときである。従って、$4x+3y = 4x -3x = x$であるので、$x=-\sqrt{2}$、$y=\sqrt{2}$のとき、最小値 $- \sqrt{2} (4-3)=-\sqrt{2}$となる。したがって、$k = -5\sqrt{2}$。このとき、直線は $4x + 3y + 5\sqrt{2} = 0$ となり、領域$A$と共有点を持つ。

(2) $k = 4x + 3y$ とおく。$k$ の最大値を求めるには、$y = -\frac{4}{3}x + \frac{k}{3}$ が領域 $A$ と共有点を持つような $k$ の最大値を求めればよい。領域 $A$は円 $x^2 + y^2 = 2$ と直線 $x + y = 0$ で囲まれた領域である。 $k$が最大となるのは、$x+y=0$と$x^2+y^2=2$の交点において、$4x+3y$が最大となる点を求めればよい。$x+y=0$のとき、$y=-x$を$x^2+y^2=2$に代入すると、$x^2+(-x)^2=2x^2=2$より、$x = \pm 1$、$y = \mp 1$となる。$x+y \ge 0$より、$x=1$、$y=-1$は領域$A$に含まれない。よって、$x=-1$、$y=1$が候補となる。$4x+3y = -4+3=-1$。

$4x+3y = k$が円と接するときを考えると、$k = 5\sqrt{2}$。このとき、$4x + 3y - 5\sqrt{2} = 0$。

$x = \sqrt{2}$, $y = 0$の時、$4x+3y = 4\sqrt{2}$

$x = 0$, $y = \sqrt{2}$の時、$4x+3y = 3\sqrt{2}$

$4\sqrt{2} > 3\sqrt{2}$より、$x = \sqrt{2}$, $y = 0$が最大となる。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $-5\sqrt{2}$

(2) 最大値: $4\sqrt{2}$