三角形 $OA_1B_1$ があり、$OA_1 = 4\sqrt{3}$, $OB_1 = 8$, $A_1B_1 = 4$ である。$A_nB_n = x_n$, $\triangle OA_nB_n = S_n$ とする。 (1) $x_2$ の値を求める。 (2) $x_{n+1}$ を $x_n$ を用いて表す。 (3) $\sum_{n=1}^{\infty} S_n$ を求める。

1. 問題の内容

三角形 $OA_1B_1$ があり、$OA_1 = 4\sqrt{3}$, $OB_1 = 8$, $A_1B_1 = 4$ である。$A_nB_n = x_n$, $\triangle OA_nB_n = S_n$ とする。

(1) $x_2$ の値を求める。

(2) $x_{n+1}$ を $x_n$ を用いて表す。

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} S_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x_2$ は $A_2B_2$ の長さに等しい。三角形 $OA_1B_1$ と三角形 $OB_2A_2$ は相似である。

$OB_2 = OA_1 \times \frac{OA_2}{OA_1} =OA_1 \frac{A_1B_1}{OB_1} = 4\sqrt{3}\frac{4}{8} = 2\sqrt{3}$

$A_2B_2 = A_1B_1 \frac{OB_2}{OA_1} = 4 \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = 2$. したがって $x_2 = 2$

(2) 同様に、$x_{n+1} = x_n \frac{OB_{n+1}}{OA_n} = x_n \frac{OA_n \frac{A_nB_n}{OB_n}}{OA_n} =x_n \frac{A_nB_n}{OB_n} = x_n \frac{4}{8} OB_n$

$OB_{n+1}/OA_n = OA_n \frac{A_n B_n}{OB_n} =OA_n \frac{x_n}{8}$

よって、$A_{n+1}B_{n+1} = x_{n+1} = A_nB_n \frac{OB_{n+1}}{OA_n}= x_n \times \frac{1}{2}= x_n \frac{OA_n \frac{A_nB_n}{OB_n}}{OA_n}$

$A_n B_n=x_n$, $OB_n = \frac{8}{4\sqrt{3}} x_n *OA_n$

$OB_{n+1} = A_{n+1}B_{n+1} \frac{4\sqrt{3}}{8}$

$OA_n=OA_1$

$x_{n+1} = \frac{1}{2} x_n$.

$OA_n=OA_{n-1}$.

相似比は $OA_{n+1}/OA_n = \frac{OA_n}{OA_1}$　

$\frac{OB_2}{OA_1} = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

$x_{n+1} = x_n \frac{OB_{n+1}}{OA_n}$

$\frac{OB_{n+1}}{OA_n} = \frac{OB_{n+1}}{OB_n} = OA_1 * \frac{4}{8} /OA_1=\frac{1}{2}$

$A_n B_n = OA_1 sin \theta$, $\sin \theta=x_n$.　 $\frac{4}{8\sqrt{3}}$

$x_1=4, x_2 =2$. $x_{n+1} = (2/3) x_n$　??

$x_{n+1} = (1/2)x_n$　

OA1 = 4sqrt(3), OB1 =

8. $ x_{n+1}/x_n = \frac{OA_{n+1} * sin(\angle A_{n+1} O B_{n+1})}{OA_n * sin(\angle A_n O B_n)} =\frac{OA_{n+1}}{OA_n}$

OA_n = sqrt( (4*sqrt(3))^2 - x_n^2), \angle A_{n+1}OB_{n+1} = angle A_nOB_n)

$Area= \frac{1}{2} *4*4*\sqrt{3} = 4*sqrt(3)/ 2 = 4*sqrt(3)/2

OB_2/OA_1= 1/

2. Therefore $x_2 =

2. $Area (n+1) = $ Area(n)*(1/2)^2 = x_{n+1}/x_n = \frac{1}{2}$, x_2 = 1

$x_{n+1} = \frac{1}{2} x_n$

$$S_1= \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times 4 = 8\sqrt{3}$$

$$S_2= \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 2 = 2\sqrt{3}$$

$S_{n+1} = (1/4)S_n$

$\sum_{n=1}^\infty S_n = S_1 + S_2 + .. = \frac{S_1}{1-r} = \frac{8\sqrt{3}}{1-1/4} = \frac{8\sqrt{3}}{3/4} = \frac{32\sqrt{3}}{3}$

(1) 2

(2) $x_{n+1} = \frac{1}{2}x_n$

(3) $\frac{32\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $x_{n+1} = \frac{1}{2}x_n$

(3) $\frac{32\sqrt{3}}{3}$