座標平面上の領域Aが不等式 $x^2 + y^2 \le 2$ と $x+y \ge 0$ で定義されるとき、点 $(x, y)$ が領域A上を動くとき、次の値を求めよ。 (1) $4x + 3y$ の最小値 (2) $4x + 3y$ の最大値

1. 問題の内容

座標平面上の領域Aが不等式 $x^2 + y^2 \le 2$ と $x+y \ge 0$ で定義されるとき、点 $(x, y)$ が領域A上を動くとき、次の値を求めよ。

(1) $4x + 3y$ の最小値

(2) $4x + 3y$ の最大値

2. 解き方の手順

まず、領域Aを図示する。$x^2 + y^2 \le 2$ は原点を中心とする半径 $\sqrt{2}$ の円の内部（境界を含む）を表し、$x+y \ge 0$ は直線 $x+y = 0$ （すなわち $y = -x$）の上側（境界を含む）を表す。したがって、領域Aはこれらの共通部分となる。

次に、$4x + 3y = k$ とおき、$y = -\frac{4}{3}x + \frac{k}{3}$ という直線の方程式を得る。この直線が領域Aと共有点を持つような $k$ の範囲を求める。

(1) 最小値を求める場合：

直線 $4x + 3y = k$ が領域Aと共有点を持ち、かつ $k$ が最小となるのは、直線が円 $x^2 + y^2 = 2$ と接する場合である。

円の中心 $(0, 0)$ と直線 $4x + 3y - k = 0$ の距離が円の半径 $\sqrt{2}$ に等しいときを考える。

点と直線の距離の公式より、

$$\frac{|4(0) + 3(0) - k|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \sqrt{2}$$

$$\frac{|-k|}{\sqrt{25}} = \sqrt{2}$$

$$\frac{|k|}{5} = \sqrt{2}$$

$$|k| = 5\sqrt{2}$$

$k = \pm 5\sqrt{2}$ となる。

$4x+3y$ の最小値を求めるので、$k = -5\sqrt{2}$ となるかどうかを確認する必要がある。

$x+y\ge 0$ より、領域Aは $y=-x$ の上側にあるので、$k=-5\sqrt{2}$ となるのは $x+y<0$ の場合であり、条件を満たさない。

$x+y=0$ のとき、$y=-x$ であり、$4x+3y=4x-3x=x$ である。$x^2+y^2\le 2$ に $y=-x$ を代入すると、$2x^2\le 2$ より、$x^2\le 1$。よって、$-1\le x \le 1$。したがって、$4x+3y$ の最小値は $x=-1$ のとき、$4(-1)+3(1)=-1$ となる。

(2) 最大値を求める場合：

直線 $4x + 3y = k$ が領域Aと共有点を持ち、かつ $k$ が最大となるのは、直線が円 $x^2 + y^2 = 2$ と接するか、または点 $(\sqrt{2}, 0)$ を通るときである。

円 $x^2 + y^2 = 2$ と接するときは、$k = 5\sqrt{2}$ である。

点 $(\sqrt{2}, 0)$ を通るときは、$4(\sqrt{2}) + 3(0) = 4\sqrt{2}$ である。

$5\sqrt{2} = \sqrt{50}$ であり、$4\sqrt{2} = \sqrt{32}$ なので、$5\sqrt{2} > 4\sqrt{2}$ である。

また、$x+y=0$ のとき、$y=-x$ であり、$4x+3y=4x-3x=x$ である。$x^2+y^2\le 2$ に $y=-x$ を代入すると、$2x^2\le 2$ より、$x^2\le 1$。よって、$-1\le x \le 1$。したがって、$4x+3y$ の最大値は $x=1$ のとき、$4(1)+3(-1)=1$ となる。

ただし、$x+y\ge 0$ の領域なので、$y\ge -x$ である。

$y = -x$ 上の点 $(-1, 1)$ では、 $4x+3y = -4+3 = -1$。

$y = -x$ 上の点 $(1, -1)$ は領域外である。

円上の点 $(\sqrt{2}, 0)$ では、$4x+3y = 4\sqrt{2}$。

円上の点 $(0, \sqrt{2})$ では、$4x+3y = 3\sqrt{2}$。

円 $x^2+y^2=2$ と直線 $4x+3y=k$ が接するとき、$4x+3y=5\sqrt{2}$となる。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: -1

(2) 最大値: $5\sqrt{2}$