直線 $y = 2x$ 上に点Aがあり、直線 $y = -x + 10$ 上に点Dがある。ADがx軸に平行になるように点A, Dをとる。A, Dからx軸に垂線AB, DCを引き、長方形ABCDを作る。ただし、点Aは2直線の交点よりも下にある。 (1) 点Aのx座標を$a$とするとき、点Dの座標を$a$の式で表す。 (2) 四角形ABCDが正方形になるとき、点Aの座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $y = 2x$ 上に点Aがあり、直線 $y = -x + 10$ 上に点Dがある。ADがx軸に平行になるように点A, Dをとる。A, Dからx軸に垂線AB, DCを引き、長方形ABCDを作る。ただし、点Aは2直線の交点よりも下にある。

(1) 点Aのx座標を$a$とするとき、点Dの座標を$a$の式で表す。

(2) 四角形ABCDが正方形になるとき、点Aの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Aの座標を$(a, 2a)$とする。点DはADがx軸に平行になるように選ばれているため、点Dのy座標は点Aのy座標と等しく$2a$である。点Dは直線 $y = -x + 10$ 上にあるので、点Dのx座標を$x$とおくと、

$2a = -x + 10$

この式を$x$について解くと、

$x = 10 - 2a$

したがって、点Dの座標は$(10 - 2a, 2a)$である。

(2) 四角形ABCDが正方形になるためには、AB = ADであればよい。

ABの長さは点Aのy座標に等しいので、$2a$である。

ADの長さは、点Dのx座標から点Aのx座標を引いたものなので、$(10 - 2a) - a = 10 - 3a$である。

したがって、

$2a = 10 - 3a$

この式を$a$について解くと、

$5a = 10$

$a = 2$

点Aの座標は$(a, 2a)$なので、$(2, 2 \times 2) = (2, 4)$となる。

3. 最終的な答え

(1) 点Dの座標：$(10 - 2a, 2a)$

(2) 点Aの座標：$(2, 4)$