三角形OABにおいて、辺OA, OBの中点をそれぞれM, Nとする。 (1) $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とするとき、$\vec{MN}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$で表す。 (2) $\vec{AB} // \vec{MN}$であることを証明する。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OA, OBの中点をそれぞれM, Nとする。

(1) $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とするとき、$\vec{MN}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$で表す。

(2) $\vec{AB} // \vec{MN}$であることを証明する。

2. 解き方の手順

(1)

点M, Nはそれぞれ辺OA, OBの中点であるから、

$\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{OA} = \frac{1}{2}\vec{a}$

$\vec{ON} = \frac{1}{2}\vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{b}$

よって、

$\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}$

$\vec{MN} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

(2)

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$

$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{1}{2}\vec{AB}$

したがって、$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AB}$より、$\vec{AB} // \vec{MN}$である。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{MN} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

(2) $\vec{AB} // \vec{MN}$ (証明終わり)