四角形ABCDは平行四辺形であり、辺CD上にPQとBCが平行となるように点Qをとるとき、PQの長さを求めよ。ただし、AE = 10cm, ED = 5cm, AB = 8cmとする。

1. 問題の内容

四角形ABCDは平行四辺形であり、辺CD上にPQとBCが平行となるように点Qをとるとき、PQの長さを求めよ。ただし、AE = 10cm, ED = 5cm, AB = 8cmとする。

2. 解き方の手順

まず、平行四辺形の性質より、$AD = BC$である。

また、$AE = 10$ cm、$ED = 5$ cmなので、$AD = AE + ED = 10 + 5 = 15$ cm。

したがって、$BC = 15$ cm。

次に、$\triangle AED$と$\triangle CEQ$において、$AE$と$CQ$は錯角で等しく、$AD$と$BC$が平行なので、$PQ$と$BC$は平行である。よって、$\angle CEQ = \angle AED$および$\angle ECQ = \angle EAD$なので、2角がそれぞれ等しく、$\triangle AED \sim \triangle CEQ$である。

よって、$\frac{CE}{AE} = \frac{CQ}{AD}$が成り立つ。

$AE = 10$ cm、$ED = 5$ cmなので、$CD = AE + ED = 15$ cm。

平行四辺形の性質より、$AB = CD = 8$ cm。

また、$CQ = CD - DQ$なので、$DQ$の長さを求める。

$\triangle APB$と$\triangle CQD$に注目すると、$\triangle APB$と$\triangle EPC$が相似である。

$\triangle AEB$と$\triangle CED$において、$AE = 10$ cm、$ED = 5$ cm、$AB = 8$ cm、$BC = AD = 15$ cmである。

$PQ // BC$より、$\triangle APQ \sim \triangle ABC$。

したがって、$\frac{PQ}{BC} = \frac{AQ}{AC}$が成り立つ。

また、$\triangle AED$と$\triangle CEQ$は相似なので、$\frac{ED}{CQ} = \frac{AE}{EC}$。

$ED = 5$ cm、$CD = AB = 8$ cmなので、$CE = \sqrt{BC^2 + BE^2}$。

$AE:ED = 10:5 = 2:1$より、$CE:EA = 1:2$なので、$CQ = \frac{1}{3}BC = \frac{1}{3} \times 15 = 5$。

$\triangle ADQ$と$\triangle ABC$において、$AQ // BC$なので、$\frac{DQ}{DC} = \frac{AD}{BC}$が成り立つ。

$\frac{DQ}{CD} = \frac{DE}{DA} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$。

よって、$DQ = \frac{1}{3}CD = \frac{1}{3}AB = \frac{1}{3} \times 8 = \frac{8}{3}$。

$CQ = CD - DQ = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24-8}{3} = \frac{16}{3}$。

$\triangle AED \sim \triangle CEQ$なので、$\frac{AE}{CQ} = \frac{ED}{EQ}$。

$\frac{10}{16/3} = \frac{5}{EQ}$より、$EQ = \frac{5 \times 16/3}{10} = \frac{8}{3}$。

$\triangle AED \sim \triangle CEQ$において、$\frac{AD}{CQ} = \frac{AE}{CE}$より、$\frac{15}{CQ} = \frac{10}{CE}$。

$CQ = \frac{DE \cdot BC}{AD}$なので、$CQ = \frac{5}{15} * BC = \frac{1}{3}BC = \frac{1}{3}*15 = 5$。

$\triangle ADQ \sim \triangle ABQ$なので、$\frac{AD}{AB}$ = $\frac{AQ}{AQ}$

$\frac{AQ}{AB} = \frac{EQ}{EB}$. $\frac{PQ}{BC} = \frac{AQ}{AC}$.

$\triangle AEB$と$\triangle ABC$は相似。

$PQ = \frac{AE}{AD} * BC = \frac{10}{15} * 15 = 10$.

したがって、$PQ=10$ cm。

3. 最終的な答え

10 cm