(1) 直線 $x = -2$ に接し、点 $A(2, 0)$ を通る円の中心 $P$ の軌跡を求めます。 (2) 直線 $x = -2$ に接し、円 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ と内接する円 $C$ の中心 $P$ の軌跡を求めます。

1. 問題の内容

(1) 直線 $x = -2$ に接し、点 $A(2, 0)$ を通る円の中心 $P$ の軌跡を求めます。

(2) 直線 $x = -2$ に接し、円 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ と内接する円 $C$ の中心 $P$ の軌跡を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円の中心を $P(x, y)$、半径を $r$ とします。

直線 $x = -2$ に接することから、$r = |x + 2|$ となります。

点 $A(2, 0)$ を通ることから、円の方程式は $(x-2)^2 + (y-0)^2 = r^2$、つまり $(x-2)^2 + y^2 = r^2$ となります。

$r = |x + 2|$ を代入すると、$(x-2)^2 + y^2 = (x+2)^2$ となります。

これを展開して整理すると、$x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + 4x + 4$ となり、$y^2 = 8x$ となります。

(2) 円 $C$ の中心を $P(x, y)$、半径を $r$ とします。

円 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ の中心は $(1, 0)$、半径は $1$ です。

円 $C$ と円 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ が内接することから、中心間の距離は半径の差に等しくなります。

よって、$\sqrt{(x-1)^2 + (y-0)^2} = |r - 1|$ となります。

直線 $x = -2$ に接することから、$r = |x + 2|$ となります。

これを代入すると、$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} = ||x+2| - 1|$ となります。

両辺を2乗すると、$(x-1)^2 + y^2 = (|x+2| - 1)^2$ となります。

$(x-1)^2 + y^2 = (x+2)^2 - 2|x+2| + 1$ となり、$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + 4x + 4 - 2|x+2| + 1$ となります。

$y^2 = 6x + 4 - 2|x+2|$ となります。

$x \geq -2$ のとき、$y^2 = 6x + 4 - 2(x+2) = 4x$ となり、$y^2 = 4x$。

$x < -2$ のとき、$y^2 = 6x + 4 + 2(x+2) = 8x + 8$ となり、$y^2 = 8(x+1)$。

3. 最終的な答え

(1) $y^2 = 8x$

(2) $x \geq -2$ のとき、$y^2 = 4x$、$x < -2$ のとき、$y^2 = 8(x+1)$