四角形ABCDが、線分ABを直径とする円に内接し、$AB=a$, $BC=b$, $CD=DA=3$であるとする。 (1) $a$, $b$, $\angle CAD$, $\angle DBR$, $\angle BED$, $DF$, $CE$, $\triangle ACE$の面積, $EF$について空欄を埋める。 (2) $a$と$b$の間に成り立つ関係式を求める。具体的には、$\triangle ABD$において、$BD^2$を$a$で表し、$\triangle BCD$において、$BD^2$を$a$, $b$で表し、それらから$b$を$a$で表す。

1. 問題の内容

四角形ABCDが、線分ABを直径とする円に内接し、$AB=a$, $BC=b$, $CD=DA=3$であるとする。

(1) $a$, $b$, $\angle CAD$, $\angle DBR$, $\angle BED$, $DF$, $CE$, $\triangle ACE$の面積, $EF$について空欄を埋める。

(2) $a$と$b$の間に成り立つ関係式を求める。具体的には、$\triangle ABD$において、$BD^2$を$a$で表し、$\triangle BCD$において、$BD^2$を$a$, $b$で表し、それらから$b$を$a$で表す。

2. 解き方の手順

(1)

$\angle CAD = \angle CBD$なので、$\sin \angle CAD = \sin \angle CBD$となる。

$\triangle ABC$について、正弦定理より、$\frac{AC}{\sin \angle ABC} = 2R = a$

$\sin \angle ABC = 1$ (∵$\angle ABC$は直径に対する円周角なので$90^\circ$)

よって、$AC = a$

$\triangle ACD$について、正弦定理より、$\frac{3}{\sin \angle CAD} = AC$

$\sin \angle CAD = \frac{3}{AC} = \frac{3}{a}$ (ア=3, イ=a)

$\angle DBR = \angle DAC$なので、$\sin \angle DBR = \sin \angle DAC = \frac{3}{a}$ (ウ=3, エ=a)

$\angle BED = 180^\circ - \angle AED = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BDA) = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA)$

$\angle BED = \angle BCA$

$\triangle ABC$は直角三角形なので、$\sin \angle BED = \sin \angle BCA = \frac{a}{AB} = \frac{a}{a} = 1$ (オ=a, カ=a, キ=a)

$DF$と$CE$については情報が足りず、計算できない。

$\triangle ACE$の面積については情報が足りず、計算できない。

$EF$については情報が足りず、計算できない。

(2)

$\triangle ABD$において、$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle BAD = a^2 + 3^2 - 2 \cdot a \cdot 3 \cdot \cos \angle BAD$

ここで、$\angle BAD = 90^\circ$より、$\cos \angle BAD = 0$

$BD^2 = a^2 + 9$ (ソ=a, タ=9)

$\triangle BCD$において、$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos \angle BCD = b^2 + 3^2 - 2 \cdot b \cdot 3 \cdot \cos \angle BCD = b^2 + 9 - 6b \cos \angle BCD$

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$

$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 90^\circ$より、$\cos \angle BCD = 0$

$BD^2 = b^2 + 9$

また、$BD^2 = a^2+9$より、$b^2 + 9 = a^2 + 9$

$b^2 = a^2$

$b = a$ (チ=a, ツ=0, テ=0)

$b = a$ (ナ=a)

3. 最終的な答え

(1)

ア=3, イ=a, ウ=3, エ=a, オ=3, カ=a, キ=a

$DF$、 $CE$、$\triangle ACE$の面積、$EF$は情報不足のため計算できない。

(2)

ソ=a, タ=9, チ=a, ツ=0, テ=0

ナ=a