四角形ABCDにおいて、AB=BC=3, CD=DA=5, ∠BAD=120°が与えられたとき、BD, sin∠ABD, AC, 四角形ABCDの面積、内接円の半径r、AOを求める問題。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、AB=BC=3, CD=DA=5, ∠BAD=120°が与えられたとき、BD, sin∠ABD, AC, 四角形ABCDの面積、内接円の半径r、AOを求める問題。

2. 解き方の手順

(1) BDを求める。

△ABDにおいて、余弦定理より、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cos{\angle BAD}$

$BD^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos{120^\circ}$

$BD^2 = 9 + 25 - 30 \cdot (-\frac{1}{2})$

$BD^2 = 34 + 15 = 49$

$BD = 7$

(2) sin∠ABDを求める。

△ABDにおいて、正弦定理より、

$\frac{AD}{\sin{\angle ABD}} = \frac{BD}{\sin{\angle BAD}}$

$\sin{\angle ABD} = \frac{AD \sin{\angle BAD}}{BD} = \frac{5 \sin{120^\circ}}{7} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7} = \frac{5\sqrt{3}}{14}$

(3) ACを求める。

四角形ABCDはDA=DC, AB=BCなので、線分BDは∠ADC, ∠ABCを二等分する。

∠ADB=θとおくと、∠ADC=2θ。

また、∠ABD=αとおくと、$\sin{\alpha} = \frac{5\sqrt{3}}{14}$. よって、$\cos{\alpha} = \sqrt{1-\sin^2{\alpha}} = \sqrt{1 - \frac{25 \cdot 3}{196}} = \sqrt{\frac{196-75}{196}} = \sqrt{\frac{121}{196}} = \frac{11}{14}$

∠ABC=2α

∠BCD=360-120-2α-2θ

△ABCにおいて余弦定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB\cdot BC \cos{2\alpha} = 3^2+3^2 - 2\cdot 3\cdot 3(2\cos^2{\alpha}-1)$

$AC^2=18 - 18(2\cdot\frac{121}{196} -1) = 18 - 18(\frac{242-196}{196})=18 - 18 \cdot \frac{46}{196}=18 - \frac{9\cdot46}{98}=18 - \frac{9\cdot23}{49}= \frac{18\cdot49-207}{49} = \frac{882-207}{49}=\frac{675}{49}$

$AC=\sqrt{\frac{675}{49}} = \sqrt{\frac{225\cdot 3}{49}}=\frac{15\sqrt{3}}{7}$

(4) 四角形ABCDの面積

四角形ABCDの面積 = △ABD + △BCD

△ABD = $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin{\angle BAD} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

$BD = 7$. △BCDにおいて、BC=CD=3, BD=

7. よってs = (3+3+7)/2=13/

2. ヘロンの公式より

△BCD = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{13}{2}(\frac{13}{2}-3)(\frac{13}{2}-3)(\frac{13}{2}-7)} = \sqrt{\frac{13}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{-1}{2}}$

△BCD = $\frac{1}{2} BC \cdot CD \sin \angle BCD$

余弦定理より $7^2 = 3^2 + 5^2 -2\times3\times5 \cos{\angle ADC}$

$49 = 9 + 25 - 30 \cos{\angle ADC}$.

$\cos{\angle ADC} = \frac{9+25-49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$. $\angle ADC = 120^{\circ}$.

$\angle ABC = 360-120-120 = 120^{\circ}$から、ABCDは円に内接するので、トレミーの定理より

$AC\times BD= AB\times CD+AD \times BC = 3\times 5+5\times 3=30$.

よって、$AC=\frac{30}{7}$. しかし、これでは(3)の結果と矛盾する

別の方法を考える：四角形ABCD = △ABD + △BCD. ∠ADC = θとおくと∠ABC= 180-θ. $\triangle BCD=\frac{1}{2}DA\cdot DC \sin \theta = \frac{1}{2}\cdot 5 \cdot 5 \cdot \sin \theta$. $7^2= 5^2+5^2-2\cdot 5\cdot 5 \cos \theta. \cos \theta= \frac{50-49}{50}= \frac{1}{50}$. $\sin \theta = \sqrt{1-\frac{1}{50^2}}= \frac{\sqrt{2499}}{50}$

$\triangle BCD=\frac{1}{2} 25 \frac{\sqrt{2499}}{50}=\frac{1}{4}\sqrt{2499}= \frac{1}{4} 3\sqrt{277}= \frac{75}{4}$

四角形ABCD = $\frac{1}{4} \cdot (15\sqrt{3}) + 75$

四角形ABCD = $\triangle ABD + \triangle BCD$. ヘロンの公式を使う場合：

$\triangle ABD$ = $\frac{1}{2} 3\times 5\sin{120} = \frac{15 \sqrt{3}}{4}$.

$\triangle BCD: BC = CD=3, BD=7$. $s=\frac{3+3+7}{2}= \frac{13}{2}$. $\triangle BCD= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}= \sqrt{\frac{13}{2}\frac{7}{2}\frac{7}{2}\frac{13-14}{2}}.$

最終的な計算にまだ至りません。

(1) BD = 7

(2) sin∠ABD = $\frac{5\sqrt{3}}{14}$

3. 最終的な答え

ア: 7

イ: 5

ウ: 3

エオ: 14

カキ: 15

ク: 3

ケ: 7

コサシ:（計算中）

ス:（計算中）

セン:（計算中）

タ:（計算中）

チッ:（計算中）

テト:（計算中）

ナ:（計算中）