円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=2, BC=$\sqrt{6}$, CD=CA=4のとき、$\cos \angle ABC$, $\cos \angle ADC$, ADの値を求め、$\triangle ABC$, $\triangle ACD$, $\triangle ABD$, $\triangle BCD$の面積をそれぞれ$S_1, S_2, S_3, S_4$とするとき、$\frac{S_1}{S_2}, \frac{S_3}{S_4}, \frac{S_1}{S_3}$を求め、BDの長さを求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=2, BC=$\sqrt{6}$, CD=CA=4のとき、$\cos \angle ABC$, $\cos \angle ADC$, ADの値を求め、$\triangle ABC$, $\triangle ACD$, $\triangle ABD$, $\triangle BCD$の面積をそれぞれ$S_1, S_2, S_3, S_4$とするとき、$\frac{S_1}{S_2}, \frac{S_3}{S_4}, \frac{S_1}{S_3}$を求め、BDの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$について、余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos \angle ABC$

$4^2 = 2^2 + (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{6} \cos \angle ABC$

$16 = 4 + 6 - 4\sqrt{6} \cos \angle ABC$

$6 = -4\sqrt{6} \cos \angle ABC$

$\cos \angle ABC = -\frac{6}{4\sqrt{6}} = -\frac{3}{2\sqrt{6}} = -\frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot 6} = -\frac{\sqrt{6}}{4}$

(2) 四角形ABCDは円に内接するので、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC$

$\cos \angle ADC = \cos (180^\circ - \angle ABC) = -\cos \angle ABC = \frac{\sqrt{6}}{4}$

(3) $\triangle ACD$について、余弦定理より、

$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2AC \cdot AD \cos \angle CAD$

$4^2 = 4^2 + AD^2 - 2 \cdot 4 \cdot AD \cos \angle CAD$

$\angle CAD$の具体的な値は不明。

代わりに、$\triangle ACD$で余弦定理より、$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2AC \cdot CD \cos \angle ACD = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cos \angle ACD$

$\angle ACD$の具体的な値は不明。

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$. $\cos \angle ADC = \frac{\sqrt{6}}{4}$より、$\sin \angle ADC = \sqrt{1 - \cos^2 \angle ADC} = \sqrt{1 - \frac{6}{16}} = \sqrt{\frac{10}{16}} = \frac{\sqrt{10}}{4}$

$\triangle ADC$について、余弦定理より、$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 AD \cdot CD \cos \angle ADC$

$4^2 = AD^2 + 4^2 - 2 AD \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{6}}{4}$

$0 = AD^2 - 2\sqrt{6} AD$

$0 = AD(AD - 2\sqrt{6})$

$AD = 0$または$AD = 2\sqrt{6}$

$AD = 2\sqrt{6}$

(4) $\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2} AB \cdot BC \sin \angle ABC}{\frac{1}{2} AD \cdot CD \sin \angle ADC} = \frac{AB \cdot BC \sin \angle ABC}{AD \cdot CD \sin \angle ADC} = \frac{2 \cdot \sqrt{6}}{2\sqrt{6} \cdot 4} = \frac{2\sqrt{6}}{8\sqrt{6}} = \frac{1}{4}$

$\frac{S_3}{S_4} = \frac{\frac{1}{2} AB \cdot AD \sin \angle BAD}{\frac{1}{2} BC \cdot CD \sin \angle BCD}$

$\angle BAD = 180^\circ - \angle BCD$なので、$\sin \angle BAD = \sin \angle BCD$.

$\frac{S_3}{S_4} = \frac{AB \cdot AD}{BC \cdot CD} = \frac{2 \cdot 2\sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot 4} = \frac{4\sqrt{6}}{4\sqrt{6}} = 1$

(5) $\frac{S_1}{S_3} = \frac{S_1}{S_2} \cdot \frac{S_2}{S_3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{S_2}{S_3}$

$\frac{S_1}{S_3} = \frac{\frac{1}{2}AB \cdot BC \sin B}{\frac{1}{2}AB \cdot AD \sin A} = \frac{BC \sin B}{AD \sin A} = \frac{\sqrt{6} \sin B}{2\sqrt{6} \sin A} = \frac{\sin B}{2 \sin A}$

$S_1 : S_3 = BC:AD = \sqrt{6} : 2\sqrt{6} = 1:2$

(6) $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sin B = \sqrt{6} \sin B$. $\cos B = -\frac{\sqrt{6}}{4}$より、$\sin B = \sqrt{1 - \frac{6}{16}} = \frac{\sqrt{10}}{4}$. $S_1 = \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{10}}{4} = \frac{\sqrt{60}}{4} = \frac{2\sqrt{15}}{4} = \frac{\sqrt{15}}{2}$.

$S_3 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{6} \cdot \sin A = 2\sqrt{6} \sin A$. $\sin A = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{6}{16}} = \sqrt{\frac{10}{16}} = \frac{\sqrt{10}}{4}$. $S_3 = 2\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{10}}{4} = \frac{\sqrt{60}}{2} = \frac{2\sqrt{15}}{2} = \sqrt{15}$.

$\frac{S_1}{S_3} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{2}}{\sqrt{15}} = \frac{1}{2}$

(7) $\triangle ABC$で余弦定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB \cdot BC \cos B = 2^2 + (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{6} \cdot (-\frac{\sqrt{6}}{4}) = 4 + 6 + 6 = 16$。

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 AB \cdot AD \cos A = 4 + (2\sqrt{6})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{6} (\frac{\sqrt{6}}{4}) = 4 + 24 - 12 = 16$. $BD = 4$。

3. 最終的な答え

$\cos \angle ABC = -\frac{\sqrt{6}}{4}$

$\cos \angle ADC = \frac{\sqrt{6}}{4}$

$AD = 2\sqrt{6}$

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{4}$

$\frac{S_3}{S_4} = 1$

$\frac{S_1}{S_3} = \frac{1}{2}$

$BD = 4$