問題は、長方形APBSにおいて、辺の中点Pを頂点とし、SとTを結ぶ直線が辺ABを三等分する理由を説明することです。

1. 問題の内容

問題は、長方形APBSにおいて、辺の中点Pを頂点とし、SとTを結ぶ直線が辺ABを三等分する理由を説明することです。

2. 解き方の手順

まず、長方形APBSにおいて、AP = PBであることに注目します。

次に、相似な三角形を見つけます。三角形APSと三角形BPTが相似になるように線STが引かれていると仮定します。

三角形APSと三角形BPTが相似であるならば、

$\frac{AP}{BT} = \frac{AS}{BP}$

が成り立ちます。

AP = PBであることから、

$\frac{AP}{BT} = \frac{AS}{AP}$

$AP^2 = AS \cdot BT$

ここで、辺ABが三等分されるということは、$AP = x$とすると、$BT = x$の場合、AB = $3x$となる必要があります。

また、$AS=x$の場合、$AP=x$であれば、$AP^2 = x^2$、$AS \cdot BT = x \cdot x = x^2$となり、条件を満たします。

この仮定に基づき、PがABの中点であることから、$AP = PB$。もし$AS = BT$であれば、点SとTを結んだ直線がABを三等分するように作図できることになります。

これは$AB = AP + PB = AS + ST + TB$において、$AP=PB=x, AS=BT=x$とおくと、$AB = x+x = 2x$, $AS+ST+TB = x+ST+x = 2x+ST$.

したがって、$AB = AP+PB = x+x=2x$となる。もし$AP$がABの$1/3$となるならば、$AP=AB/3$, $PB = 2AB/3$.

もし、$BT = AS = 1/3 AB$である場合、$AS+ST+TB$はABと等しくなり、$ST=1/3AB$である。

もし、長方形の縦の長さと横の長さに何か関係があれば、三等分点を求めることができる可能性がありますが、現在の図のみからは一意に三等分できるとは言えません。しかし、図が正確で、S, Tが特定の条件を満たす場合（例えば$AS = BT$）、三等分点になる可能性があります。

しかし、一般的に中点を頂点に重ねただけでは三等分点がきまるとは言えません。

何か追加の情報が必要であると考えられます。

3. 最終的な答え

問題文と図だけでは、中点を頂点として重ねただけで三等分点が決まるとは言えません。三角形の相似などを用いて説明するには、ASとBTの長さの関係など、追加の情報が必要になります。