問題は、線分ABの中点Pを正方形の頂点AまたはBに重ねるように折り曲げたとき、正方形の辺上の点S, Tが線分ABを三等分する点となる理由を説明することです。

1. 問題の内容

問題は、線分ABの中点Pを正方形の頂点AまたはBに重ねるように折り曲げたとき、正方形の辺上の点S, Tが線分ABを三等分する点となる理由を説明することです。

2. 解き方の手順

画像から読み取れる図形は、正方形ABCD（Dは図示されていません）があり、線分ABの中点をPとします。点SとTはそれぞれ辺AD, BC上にある点です。点PをAまたはBに重ねて折り曲げたときに、点SとTがそれぞれ線分ABを三等分する点になることを示す必要があります。以下に、点Pを点Aに重ねる場合について説明します。

（1）点Pを点Aに重ねるように折ります。このとき、線分SPと線分SAは重なります。したがって、三角形ASPは二等辺三角形となります。

（2）線分APの長さを $x$ とすると、正方形の一辺の長さは $2x$ となります。

（3）二等辺三角形ASPにおいて、$AS = SP$ です。

（4）点Sから線分ABに垂線を下ろし、交点をEとします。このとき、三角形AESは直角三角形であり、$AE = x$ です。

（5）三角形AESにおいて、ピタゴラスの定理より、$AS^2 = AE^2 + ES^2$ が成り立ちます。ここで、$AE = x$、$AS = SP$ であり、また$AD = 2x$ より、$SD = 2x - ES$ となります。

（6）$AS=SP$ を用いると、$SP^2 = x^2 + ES^2$ が成り立ちます。

（7）三角形PSBにおいて、$PB=x$ であり、線分BTを折り返した長さがPTとなります。したがって、線分BTの長さを $y$ とすると、$PT = \sqrt{x^2 + (2x-y)^2}$

（8）次に、点Pを点Bに重ねる場合について考えます。同様にして点Tが線分ABを三等分する点になることが示されます。

この説明は、幾何学的な考察に基づくものであり、具体的な数値計算や詳細な証明は省略されています。厳密な証明には、座標を用いたり、相似な三角形の関係を利用したりする必要があります。

しかし、この問題は図を見て直感的に理解することが重要です。ABの中点をAに重ねるということは、AS=SPとなるようなSが決定されるということです。同様に考えると、BT=TPとなるようなTが決定されます。厳密な証明は難しいですが、PがABの中点であることと、AS=SP, BT=TPとなるように折り曲げることで、結果的にSとTがABを三等分する点になると考えることができます。

3. 最終的な答え

線分ABの中点Pを頂点AまたはBに重ねるように折り曲げると、点SとTが線分ABを三等分する点になる理由は、折り曲げによってできる三角形ASP, BPTがそれぞれ二等辺三角形となり、PがABの中点であることから、結果的に点SとTがABを三等分する点となるからです。