長方形 $ASBT$ において、$AB$ の中点 $P$ を頂点とする三角形 $STP$ を考える。このとき、$S$ と $T$ がそれぞれ $AS$ と $BT$ を三等分する点となる理由を説明する問題です。

1. 問題の内容

長方形 $ASBT$ において、$AB$ の中点 $P$ を頂点とする三角形 $STP$ を考える。このとき、$S$ と $T$ がそれぞれ $AS$ と $BT$ を三等分する点となる理由を説明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$ASBT$ が長方形であることから、$AS$ と $BT$ は平行で長さが等しいことが分かります。

$P$ は $AB$ の中点なので、$AP = PB$ です。

$S$ と $T$ がそれぞれ $AS$ と $BT$ を三等分する点であると仮定すると、$AS = BT$ より、$AS/3 = BT/3$ となります。

そこで、$AS/3 = x$ とおくと、$AS = BT = 3x$ となり、$ST$ が $ASBT$ の内部を通る線分であるという条件を満たします。

座標を用いて考えます。点 $A$ を原点$(0, 0)$ とし、$B$ の座標を $(a, 0)$ とします。

また、$AS$ の長さを $3b$ とすると、$S$ の座標は $(0, 3b)$, $T$ の座標は $(a, 3b)$ となります。

$P$ は $AB$ の中点なので、$P$ の座標は $(a/2, 0)$ です。

このとき、直線 $SP$ の傾きは $\frac{3b - 0}{0 - a/2} = -\frac{6b}{a}$ です。

また、直線 $TP$ の傾きは $\frac{3b - 0}{a - a/2} = \frac{6b}{a}$ です。

線分 $SP$ と $TP$ が $x$ 軸に対して対称な線分になっていることが分かります。

ここで、$S$ が $AS$ を三等分し、$T$ が $BT$ を三等分するときの条件について考えます。

$AS = 3x$ とおくと、$AS/3 = x$ となります。

仮に、$AS = BT = l$ と置いた場合、$S$ と $T$ が三等分点であるならば、$AS/3 = x$ とすると、$S$ の $y$ 座標は $l/3$, $T$ の $y$ 座標は $l - l/3 = 2l/3$ となることはあり得ません。

$AS = BT$ であり、$P$ が $AB$ の中点であることから、$S$ と $T$ を結ぶ直線が特別な位置関係になることはありません。

添付された図から、$S$ と $T$ が $AS$ と $BT$ を三等分する点である、という情報が読み取れません。問題文の前提条件が間違っている可能性があります。

3. 最終的な答え

問題文の条件だけでは、$S$ と $T$ が $AS$ と $BT$ を三等分する点となる理由は説明できません。図から三等分点であるという情報を読み取ることもできません。