平行四辺形ABCDにおいて、$AB = AD$ ならば $AC \perp DB$であることを、ベクトルを用いて証明する。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、$AB = AD$ ならば $AC \perp DB$であることを、ベクトルを用いて証明する。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{AC}$ と $\overrightarrow{DB}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AD}$ で表す。

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$

$AC \perp DB$ を示すには、$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} = 0$ を示せば良い。

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) \cdot (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}) = |\overrightarrow{AB}|^2 - |\overrightarrow{AD}|^2$

ここで、$AB = AD$ ならば $|\overrightarrow{AB}|^2 = |\overrightarrow{AD}|^2$ であるから、

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} = |\overrightarrow{AB}|^2 - |\overrightarrow{AD}|^2 = 0$

したがって、$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} = 0$ となり、$AC \perp DB$ である。

3. 最終的な答え

$AB = AD$ ならば $AC \perp DB$ である。