平行四辺形ABCDにおいて、$AB = AD$ ならば $AC \perp DB$ であることをベクトルを用いて証明する。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、$AB = AD$ ならば $AC \perp DB$ であることをベクトルを用いて証明する。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ , $\vec{b} = \overrightarrow{AD}$ とおく。平行四辺形の性質より、$\overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b}$, $\overrightarrow{DB} = \vec{a} - \vec{b}$ と表せる。$AC \perp DB$ を示すためには、$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} = 0$ を示せばよい。

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$ を計算すると、

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$

$AB = AD$ より、$|\vec{a}| = |\vec{b}|$ なので、$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$。

よって、$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} = 0$ となり、$AC \perp DB$ が示された。

3. 最終的な答え

$AB=AD$ ならば $AC \perp DB$ が成り立つ。