$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とするとき、$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ を用いて表せ。ここで、$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ である。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とするとき、$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ を用いて表せ。ここで、$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ である。

2. 解き方の手順

まず、点 $P$ が線分 $AD$ 上にあることから、実数 $s$ を用いて

$$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OD}$$

と表せる。ここで、$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OB} = \frac{1}{3} \overrightarrow{b}$ なので、

$$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{a} + \frac{s}{3}\overrightarrow{b} \quad \cdots (1)$$

次に、点 $P$ が線分 $BC$ 上にあることから、実数 $t$ を用いて

$$\overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OC}$$

と表せる。ここで、$\overrightarrow{OC} = \frac{3}{5} \overrightarrow{OA} = \frac{3}{5} \overrightarrow{a}$ なので、

$$\overrightarrow{OP} = \frac{3t}{5}\overrightarrow{a} + (1-t)\overrightarrow{b} \quad \cdots (2)$$

$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ は一次独立なので、(1)と(2)の係数を比較して、

$$1-s = \frac{3t}{5}$$

$$\frac{s}{3} = 1-t$$

この連立方程式を解く。2番目の式より $s = 3(1-t)$。これを1番目の式に代入すると、

$$1 - 3(1-t) = \frac{3t}{5}$$

$$1 - 3 + 3t = \frac{3t}{5}$$

$$-2 + 3t = \frac{3t}{5}$$

$$15t - 3t = 10$$

$$12t = 10$$

$$t = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$$

よって、

$$s = 3(1 - \frac{5}{6}) = 3(\frac{1}{6}) = \frac{1}{2}$$

$t = \frac{5}{6}$ を(2)に代入すると、

$$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{6} \overrightarrow{a} + (1 - \frac{5}{6}) \overrightarrow{b} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{6} \overrightarrow{b}$$

$s = \frac{1}{2}$ を(1)に代入すると、

$$\overrightarrow{OP} = (1-\frac{1}{2}) \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \overrightarrow{b} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{6} \overrightarrow{b}$$

いずれの式からも同じ結果が得られる。

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{6} \overrightarrow{b}$