長方形APBSがある。Pは線分ABの中点。線分STと長方形の辺の交点Tは、線分BSを三等分する点となる理由を説明する。

1. 問題の内容

長方形APBSがある。Pは線分ABの中点。線分STと長方形の辺の交点Tは、線分BSを三等分する点となる理由を説明する。

2. 解き方の手順

長方形APBSにおいて、AP = PBである。

線分STと長方形の交点Tについて、線分ATとBSの比を求める。

相似な三角形を利用して線分ATとBSの比を計算し、BSが三等分されることを示す。

まず、点Pから線分BSに垂線を下ろし、その交点をQとする。

すると、三角形PBQと三角形SBTは相似である。

$PQ = AP$であり、$PB = AP$であることから、$PQ=PB$となる。

三角形PBQと三角形SBTの相似比は$PB:SB$である。

$SB = \sqrt{AP^2+AS^2}$

次に、点Aから線分STに垂線を下ろし、交点をRとする。

すると、三角形ARSと三角形PQTは相似である。

仮に、長方形の短い方の辺の長さをa、長い方の辺の長さを2aとする。つまり、$AP = PB = a$ であり、$AS=2a$である。

$SB = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$

次に、線分BTの長さを考える。

$\frac{BT}{ST} = \frac{PQ}{SB} = \frac{AP}{SB} = \frac{a}{a\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

次に、$AT = \sqrt{(2a)^2+(2a-BT)^2}$を計算して、$BT = \frac{1}{3} BS$となることを示せばよい。

三角形SATと三角形TBPも相似である。AS:BP = 2a:a = 2:1である。

したがって、ST:BT = 2:1である。

したがって、BT = (1/3) SBである。つまり、BTはSBを三等分する点である。

3. 最終的な答え

PがABの中点であるとき、TはBSを三等分する点となる。

理由は、三角形の相似関係を利用して線分の比を計算することで、BTがBSの1/3の長さになることを示すことができるからである。