点A(-3, 5)、点B(4, -9) が与えられている。線分ABを1:2に内分する点Pと、線分ABを4:3に内分する点Qの位置ベクトル $\overrightarrow{OP}$、$\overrightarrow{OQ}$ をそれぞれ $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ を用いて表し、点P、Qの座標を求める。

1. 問題の内容

点A(-3, 5)、点B(4, -9) が与えられている。線分ABを1:2に内分する点Pと、線分ABを4:3に内分する点Qの位置ベクトル $\overrightarrow{OP}$、$\overrightarrow{OQ}$ をそれぞれ $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ を用いて表し、点P、Qの座標を求める。

2. 解き方の手順

点Pの位置ベクトル$\overrightarrow{OP}$は、線分ABを1:2に内分するので、内分点の公式より、

$\overrightarrow{OP} = \frac{2\overrightarrow{OA} + 1\overrightarrow{OB}}{1+2} = \frac{2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{3}$

したがって、点Pの座標は、

$P = \frac{2A + B}{3} = (\frac{2(-3) + 4}{3}, \frac{2(5) + (-9)}{3}) = (\frac{-6+4}{3}, \frac{10-9}{3}) = (-\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

点Qの位置ベクトル$\overrightarrow{OQ}$は、線分ABを4:3に内分するので、内分点の公式より、

$\overrightarrow{OQ} = \frac{3\overrightarrow{OA} + 4\overrightarrow{OB}}{4+3} = \frac{3\overrightarrow{OA} + 4\overrightarrow{OB}}{7}$

したがって、点Qの座標は、

$Q = \frac{3A + 4B}{7} = (\frac{3(-3) + 4(4)}{7}, \frac{3(5) + 4(-9)}{7}) = (\frac{-9+16}{7}, \frac{15-36}{7}) = (\frac{7}{7}, \frac{-21}{7}) = (1, -3)$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OP} = \frac{2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{3}$

点Pの座標: $(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

$\overrightarrow{OQ} = \frac{3\overrightarrow{OA} + 4\overrightarrow{OB}}{7}$

点Qの座標: $(1, -3)$