円の接線の方程式と接点の座標を求める問題です。 (1) 円 $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 4 = 0$ の接線で、傾きが2のものを求めます。 (2) 円 $x^2 + y^2 - 6x + 8 = 0$ の接線で、原点を通るものを求めます。

1. 問題の内容

円の接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

(1) 円 $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 4 = 0$ の接線で、傾きが2のものを求めます。

(2) 円 $x^2 + y^2 - 6x + 8 = 0$ の接線で、原点を通るものを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 4 = 0$ の場合

まず、円の方程式を標準形に変形します。

$x^2 + 2x + y^2 + 4y - 4 = 0$

$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) - 1 - 4 - 4 = 0$

$(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 9 = 3^2$

したがって、円の中心は $(-1, -2)$ で、半径は $3$ です。

傾きが $2$ の接線の方程式を $y = 2x + b$ とおきます。

この接線と円の中心 $(-1, -2)$ との距離が半径 $3$ に等しいので、点と直線の距離の公式より、

$\frac{|2(-1) - (-2) + b|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 3$

$\frac{|-2 + 2 + b|}{\sqrt{5}} = 3$

$|b| = 3\sqrt{5}$

$b = \pm 3\sqrt{5}$

よって、接線の方程式は

$y = 2x + 3\sqrt{5}$ および $y = 2x - 3\sqrt{5}$ です。

接点を求めるには、接線の方程式を円の方程式に代入します。

$y = 2x + 3\sqrt{5}$ の場合：

$(x+1)^2 + (2x + 3\sqrt{5} + 2)^2 = 9$

$x^2 + 2x + 1 + 4x^2 + 4x(3\sqrt{5} + 2) + (3\sqrt{5} + 2)^2 = 9$

$5x^2 + (12\sqrt{5} + 10)x + 45 + 12\sqrt{5} + 4 - 8 = 0$

$5x^2 + (12\sqrt{5} + 10)x + 41 + 12\sqrt{5} = 0$

これは計算が複雑になるため、別の方法を検討します。

円の中心を通り傾き $-1/2$ の直線 $y + 2 = -\frac{1}{2}(x + 1)$を考え、$y = -\frac{1}{2}x -\frac{5}{2}$

この直線と接線 $y = 2x + 3\sqrt{5}$の交点が接点のx座標になります。

$-\frac{1}{2}x -\frac{5}{2} = 2x + 3\sqrt{5}$

$-\frac{5}{2}x = 3\sqrt{5} + \frac{5}{2}$

$x = -\frac{6\sqrt{5}+5}{5} = -1-\frac{6\sqrt{5}}{5}$

$y = 2(-1-\frac{6\sqrt{5}}{5}) + 3\sqrt{5} = -2 -\frac{12\sqrt{5}}{5} + 3\sqrt{5} = -2 + \frac{3\sqrt{5}}{5}$

接点は$(-1-\frac{6\sqrt{5}}{5}, -2+\frac{3\sqrt{5}}{5})$

$y = 2x - 3\sqrt{5}$の場合

$-\frac{1}{2}x -\frac{5}{2} = 2x - 3\sqrt{5}$

$-\frac{5}{2}x = -3\sqrt{5} + \frac{5}{2}$

$x = \frac{6\sqrt{5}-5}{5} = -1 + \frac{6\sqrt{5}}{5}$

$y = 2(-1+\frac{6\sqrt{5}}{5}) - 3\sqrt{5} = -2 +\frac{12\sqrt{5}}{5} - 3\sqrt{5} = -2 - \frac{3\sqrt{5}}{5}$

接点は$(-1+\frac{6\sqrt{5}}{5}, -2-\frac{3\sqrt{5}}{5})$

(2) 円 $x^2 + y^2 - 6x + 8 = 0$ の場合

円の方程式を標準形に変形します。

$x^2 - 6x + y^2 + 8 = 0$

$(x^2 - 6x + 9) + y^2 - 9 + 8 = 0$

$(x - 3)^2 + y^2 = 1 = 1^2$

したがって、円の中心は $(3, 0)$ で、半径は $1$ です。

原点を通る接線の方程式を $y = kx$ とおきます。

この接線と円の中心 $(3, 0)$ との距離が半径 $1$ に等しいので、点と直線の距離の公式より、

$\frac{|k(3) - 0|}{\sqrt{k^2 + (-1)^2}} = 1$

$\frac{|3k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1$

$9k^2 = k^2 + 1$

$8k^2 = 1$

$k^2 = \frac{1}{8}$

$k = \pm \frac{1}{2\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}$

よって、接線の方程式は

$y = \frac{\sqrt{2}}{4}x$ および $y = -\frac{\sqrt{2}}{4}x$ です。

接点を求めるには、接線の方程式を円の方程式に代入します。

$y = \frac{\sqrt{2}}{4}x$ の場合：

$(x - 3)^2 + (\frac{\sqrt{2}}{4}x)^2 = 1$

$x^2 - 6x + 9 + \frac{2}{16}x^2 = 1$

$\frac{9}{8}x^2 - 6x + 8 = 0$

$9x^2 - 48x + 64 = 0$

$(3x - 8)^2 = 0$

$x = \frac{8}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

接点は $(\frac{8}{3}, \frac{2\sqrt{2}}{3})$

$y = -\frac{\sqrt{2}}{4}x$ の場合：

$(x - 3)^2 + (-\frac{\sqrt{2}}{4}x)^2 = 1$

$x^2 - 6x + 9 + \frac{2}{16}x^2 = 1$

$\frac{9}{8}x^2 - 6x + 8 = 0$

$9x^2 - 48x + 64 = 0$

$(3x - 8)^2 = 0$

$x = \frac{8}{3}$

$y = -\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{8}{3} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

接点は $(\frac{8}{3}, -\frac{2\sqrt{2}}{3})$

3. 最終的な答え

(1) 円 $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 4 = 0$ の接線で傾きが2のもの:

接線の方程式: $y = 2x + 3\sqrt{5}$、接点: $(-1-\frac{6\sqrt{5}}{5}, -2+\frac{3\sqrt{5}}{5})$

接線の方程式: $y = 2x - 3\sqrt{5}$、接点: $(-1+\frac{6\sqrt{5}}{5}, -2-\frac{3\sqrt{5}}{5})$

(2) 円 $x^2 + y^2 - 6x + 8 = 0$ の接線で原点を通るもの:

接線の方程式: $y = \frac{\sqrt{2}}{4}x$、接点: $(\frac{8}{3}, \frac{2\sqrt{2}}{3})$

接線の方程式: $y = -\frac{\sqrt{2}}{4}x$、接点: $(\frac{8}{3}, -\frac{2\sqrt{2}}{3})$