三角形ABCにおいて、AB=8, BC=7, CA=5である。 (1) $\cos{\angle BCA}$、$\sin{\angle BCA}$の値を求め、三角形ABCの外接円の半径を求める。 (2) 直線ABと平行な直線lが、三角形ABCの外接円の点Cを含まない方の弧ABと2点D, Eで交わっている。ただし、AD=3である。このとき$\cos{\angle ADB}$とBDの値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=8, BC=7, CA=5である。

(1) $\cos{\angle BCA}$、$\sin{\angle BCA}$の値を求め、三角形ABCの外接円の半径を求める。

(2) 直線ABと平行な直線lが、三角形ABCの外接円の点Cを含まない方の弧ABと2点D, Eで交わっている。ただし、AD=3である。このとき$\cos{\angle ADB}$とBDの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\cos{\angle BCA}$を求める。余弦定理より、

$AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2 \cdot BC \cdot CA \cdot \cos{\angle BCA}$

$8^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos{\angle BCA}$

$64 = 49 + 25 - 70 \cos{\angle BCA}$

$64 = 74 - 70 \cos{\angle BCA}$

$70 \cos{\angle BCA} = 10$

$\cos{\angle BCA} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$

$\sin{\angle BCA}$を求める。$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$より、

$\sin^2{\angle BCA} = 1 - \cos^2{\angle BCA} = 1 - (\frac{1}{7})^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$

$\sin{\angle BCA} = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 3}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

外接円の半径Rを求める。正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin{\angle BCA}} = 2R$

$R = \frac{AB}{2\sin{\angle BCA}} = \frac{8}{2 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7}} = \frac{8 \cdot 7}{8\sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(2) 円周角の定理より、$\angle ADB = \angle ACB$または$\angle ADB + \angle ACB = 180^\circ$。

直線ABと直線lは平行なので、$\angle DAB + \angle ADE = 180^\circ$。

点Dは点Cを含まない方の弧AB上にあるので$\angle ADB + \angle ACB = 180^\circ$。

$\cos{\angle ADB} = \cos{(180^\circ - \angle BCA)} = - \cos{\angle BCA} = - \frac{1}{7}$

方べきの定理より、$AD \cdot AE = AB \cdot AF$　（この問題では使わない）

方べきの定理より、$AD \cdot DE = BD \cdot EC$

$AD = 3$

平行な二直線AB, DE間にある弧ADの長さと弧BEの長さは等しい。

よって、弦AD = 3 ならば 弦BE = 3

四角形ABDEは等脚台形となるので、BD = AE

ここで、四角形ACBDを考えると、$\angle ACB + \angle ADB = 180^\circ$

$DE = AB$なので、台形ABDEは等脚台形である。

したがって、AD = BE = 3。またAE = BD。

トレミーの定理より、AD * BE + AB * DE = BD * AE

AD = 3, DE = AB, AE = BDなので

3 * CE = 3 + 3 = 6、EC = 2

△ADE∽△BCE

ABとDEが平行なので、$\angle BAC = \angle AED$

$BD \cdot AE = AB \cdot DE + AD \cdot BE$

方べきの定理より、$AD \cdot AE = AB \cdot BE$

よって、AE = BD であるから、方べきの定理より、$AD \cdot BD = CD \cdot ED$

ABとDEが平行より、AD = BE = 3

方べきの定理より、AD x DE = BD x EC

トレミーの定理より、AD・BE + AE・BD = AB・DE

AD = BE = 3、AB = DE = 8、AE = BD

3・3 + AE・BD = 8・8

9 + BD^2 = 64

BD^2 = 55

BD = $\sqrt{55}$

3. 最終的な答え

$\cos{\angle BCA} = \frac{1}{7}$

$\sin{\angle BCA} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

外接円の半径は $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

$\cos{\angle ADB} = -\frac{1}{7}$

BD = $\sqrt{55}$