直方体OADB-CEGFにおいて、辺DGの延長上にDG = GHとなる点Hを取る。直線OHと平面ABCの交点をPとする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$のとき、$\overrightarrow{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。

1. 問題の内容

直方体OADB-CEGFにおいて、辺DGの延長上にDG = GHとなる点Hを取る。直線OHと平面ABCの交点をPとする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$のとき、$\overrightarrow{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{OH}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。

$\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

$\overrightarrow{GH} = \overrightarrow{DG} = \overrightarrow{OC} = \vec{c}$

したがって、

$\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OG} + \overrightarrow{GH} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}$

次に、点Pが直線OH上にあることから、実数$t$を用いて

$\overrightarrow{OP} = t\overrightarrow{OH} = t(\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}) = t\vec{a} + t\vec{b} + 2t\vec{c}$

と表せる。

また、点Pは平面ABC上にあるので、実数$x, y$を用いて

$\overrightarrow{AP} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}$

と表せる。

よって、

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OA} + x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC} = \vec{a} + x(\vec{b} - \vec{a}) + y(\vec{c} - \vec{a}) = (1 - x - y)\vec{a} + x\vec{b} + y\vec{c}$

となる。

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は一次独立なので、

$t = 1 - x - y$

$t = x$

$2t = y$

これらの連立方程式を解く。

$x = t, y = 2t$を$t = 1 - x - y$に代入すると、

$t = 1 - t - 2t$

$t = 1 - 3t$

$4t = 1$

$t = \frac{1}{4}$

したがって、

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{2}{4}\vec{c} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$