三角形ABCにおいて、$AB=3$, $AC=4$, $\angle BAC = 60^\circ$とする。辺BCを2:1に内分する点をD、点Aから辺BCに引いた垂線と辺BCとの交点をHとする。このとき、(1)線分ADの長さを求めよ。(2)ベクトルAHをベクトルABとベクトルACを用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=3$, $AC=4$, $\angle BAC = 60^\circ$とする。辺BCを2:1に内分する点をD、点Aから辺BCに引いた垂線と辺BCとの交点をHとする。このとき、(1)線分ADの長さを求めよ。(2)ベクトルAHをベクトルABとベクトルACを用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、余弦定理を用いてBCの長さを求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos{\angle BAC}$

$BC^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos{60^\circ}$

$BC^2 = 9 + 16 - 24 \cdot \frac{1}{2} = 25 - 12 = 13$

$BC = \sqrt{13}$

次に、線分ADの長さを求めるために、スチュワートの定理を用いる。

$AB^2 \cdot CD + AC^2 \cdot BD = BC(AD^2 + BD \cdot CD)$

$AB = 3, AC = 4, BC = \sqrt{13}$

$BD = \frac{2}{3}BC = \frac{2\sqrt{13}}{3}$, $CD = \frac{1}{3}BC = \frac{\sqrt{13}}{3}$

$3^2 \cdot \frac{\sqrt{13}}{3} + 4^2 \cdot \frac{2\sqrt{13}}{3} = \sqrt{13}(AD^2 + \frac{2\sqrt{13}}{3} \cdot \frac{\sqrt{13}}{3})$

$3\sqrt{13} + \frac{32\sqrt{13}}{3} = \sqrt{13}(AD^2 + \frac{26}{9})$

$3 + \frac{32}{3} = AD^2 + \frac{26}{9}$

$\frac{9+32}{3} = AD^2 + \frac{26}{9}$

$\frac{41}{3} = AD^2 + \frac{26}{9}$

$AD^2 = \frac{41}{3} - \frac{26}{9} = \frac{123-26}{9} = \frac{97}{9}$

$AD = \sqrt{\frac{97}{9}} = \frac{\sqrt{97}}{3}$

(2)

ベクトルAHをベクトルABとベクトルACで表す。

ベクトルAHはベクトルBCに垂直である。

ベクトルBC = ベクトルAC - ベクトルAB

ベクトルAH = sベクトルAB + tベクトルACとおく。

ベクトルAH・ベクトルBC = 0

(sベクトルAB + tベクトルAC)・(ベクトルAC - ベクトルAB) = 0

s(ベクトルAB・ベクトルAC) - s|ベクトルAB|^2 + t|ベクトルAC|^2 - t(ベクトルAB・ベクトルAC) = 0

ベクトルAB・ベクトルAC = |ベクトルAB||ベクトルAC|cos60° = 3・4・(1/2) = 6

6s - 9s + 16t - 6t = 0

-3s + 10t = 0

$s = \frac{10}{3}t$

また、ベクトルAHはベクトルBC上の点なので、ベクトルBH = kベクトルBC となる実数kが存在する。

ベクトルAH = ベクトルAB + ベクトルBH = ベクトルAB + kベクトルBC = ベクトルAB + k(ベクトルAC - ベクトルAB) = (1-k)ベクトルAB + kベクトルAC

ベクトルAH = sベクトルAB + tベクトルACなので、s = 1-k, t = k

$s = \frac{10}{3}t$に代入して、$1-k = \frac{10}{3}k$

$1 = \frac{13}{3}k$

$k = \frac{3}{13}$

ベクトルAH = $(1-\frac{3}{13})$ベクトルAB + $\frac{3}{13}$ベクトルAC = $\frac{10}{13}$ベクトルAB + $\frac{3}{13}$ベクトルAC

3. 最終的な答え

(1) $AD = \frac{\sqrt{97}}{3}$

(2) $\overrightarrow{AH} = \frac{10}{13}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{13}\overrightarrow{AC}$