$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とするとき、$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ を用いて表せ。ただし、$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ とする。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とするとき、$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ を用いて表せ。ただし、$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ とする。

2. 解き方の手順

まず、点 $P$ が線分 $AD$ 上にあることから、実数 $s$ を用いて、

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OD} = (1-s)\overrightarrow{0} + s\frac{1}{3}\overrightarrow{b} = (1-s)\overrightarrow{a} + \frac{s}{3}\overrightarrow{b}$

と表せる。

次に、点 $P$ が線分 $BC$ 上にあることから、実数 $t$ を用いて、

$\overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OC} = (1-t)\overrightarrow{b} + t\frac{3}{5}\overrightarrow{a} = \frac{3t}{5}\overrightarrow{a} + (1-t)\overrightarrow{b}$

と表せる。

$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ は一次独立であるから、

$1-s = \frac{3t}{5}$

$\frac{s}{3} = 1-t$

が成り立つ。

これを解くと、

$s = 3 - 3t$

$1 - (3-3t) = \frac{3t}{5}$

$-2 + 3t = \frac{3t}{5}$

$15t - 3t = 10$

$12t = 10$

$t = \frac{5}{6}$

$s = 3 - 3(\frac{5}{6}) = 3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$

したがって、

$\overrightarrow{OP} = (1 - \frac{1}{2})\overrightarrow{a} + \frac{\frac{1}{2}}{3}\overrightarrow{b} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{6}\overrightarrow{b}$

または

$\overrightarrow{OP} = \frac{3(\frac{5}{6})}{5}\overrightarrow{a} + (1 - \frac{5}{6})\overrightarrow{b} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{6}\overrightarrow{b}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{6}\overrightarrow{b}$