直方体OADB-CEGFにおいて、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$、$\overrightarrow{OC} = \vec{c}$とする。辺DGのGを越える延長上にDG = GHとなるように点Hをとる。直線OHと平面ABCの交点をPとするとき、$\overrightarrow{OP}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表す。

1. 問題の内容

直方体OADB-CEGFにおいて、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$、$\overrightarrow{OC} = \vec{c}$とする。辺DGのGを越える延長上にDG = GHとなるように点Hをとる。直線OHと平面ABCの交点をPとするとき、$\overrightarrow{OP}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、点Hの位置ベクトルを$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表す。

$\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DH}$と表せる。

$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \vec{a} + \vec{b}$

$\overrightarrow{DH} = 2\overrightarrow{DG} = 2\overrightarrow{OC} = 2\vec{c}$

よって、

$\overrightarrow{OH} = \vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}$

次に、点Pは直線OH上にあるので、実数kを用いて、

$\overrightarrow{OP} = k\overrightarrow{OH} = k(\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}) = k\vec{a} + k\vec{b} + 2k\vec{c}$

また、点Pは平面ABC上にあるので、実数s, tを用いて、

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OA} + s(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) + t(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA})$

$\overrightarrow{OP} = \vec{a} + s(\vec{b} - \vec{a}) + t(\vec{c} - \vec{a}) = (1 - s - t)\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c}$

$\overrightarrow{OP}$の2つの表現を比較すると、

$k\vec{a} + k\vec{b} + 2k\vec{c} = (1 - s - t)\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c}$

$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$は一次独立なので、

$k = 1 - s - t$

$k = s$

$2k = t$

これらの式からs, t, kを求める。

$k = s$と$2k = t$を$k = 1 - s - t$に代入すると、

$k = 1 - k - 2k$

$4k = 1$

$k = \frac{1}{4}$

よって、$s = \frac{1}{4}$、$t = \frac{1}{2}$

したがって、

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$