三角形ABCにおいて、$AB = 3$, $AC = 4$, $\angle BAC = 60^\circ$ である。辺BCを2:1に内分する点をDとする。また、点Aから辺BCに下ろした垂線の足をHとする。 (1) ADの長さを求めよ。 (2) $\vec{AH}$を$\vec{AB}$と$\vec{AC}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 3$, $AC = 4$, $\angle BAC = 60^\circ$ である。辺BCを2:1に内分する点をDとする。また、点Aから辺BCに下ろした垂線の足をHとする。

(1) ADの長さを求めよ。

(2) $\vec{AH}$を$\vec{AB}$と$\vec{AC}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) ADの長さを求める。

まず、$\vec{AD}$を$\vec{AB}$と$\vec{AC}$で表す。点Dは辺BCを2:1に内分するので、内分点の公式より、

$\vec{AD} = \frac{1 \cdot \vec{AB} + 2 \cdot \vec{AC}}{2+1} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{AC}$

したがって、

$|\vec{AD}|^2 = \left(\frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{AC}\right) \cdot \left(\frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{AC}\right)$

$= \frac{1}{9}|\vec{AB}|^2 + \frac{4}{9}|\vec{AC}|^2 + \frac{4}{9}\vec{AB} \cdot \vec{AC}$

$= \frac{1}{9}|\vec{AB}|^2 + \frac{4}{9}|\vec{AC}|^2 + \frac{4}{9}|\vec{AB}||\vec{AC}|\cos{\angle BAC}$

問題文より、$AB = 3$, $AC = 4$, $\angle BAC = 60^\circ$ なので、

$|\vec{AD}|^2 = \frac{1}{9}(3^2) + \frac{4}{9}(4^2) + \frac{4}{9}(3)(4)\cos{60^\circ}$

$= \frac{9}{9} + \frac{64}{9} + \frac{48}{9} \cdot \frac{1}{2}$

$= \frac{9}{9} + \frac{64}{9} + \frac{24}{9} = \frac{97}{9}$

よって、$AD = |\vec{AD}| = \sqrt{\frac{97}{9}} = \frac{\sqrt{97}}{3}$

(2) $\vec{AH}$を$\vec{AB}$と$\vec{AC}$を用いて表す。

$\vec{AH} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$とおく。ただし、$s, t$は実数。

$\vec{AH}$は辺BCに垂直なので、$\vec{AH} \cdot \vec{BC} = 0$。

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$なので、

$\vec{AH} \cdot \vec{BC} = (s\vec{AB} + t\vec{AC}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = 0$

$s\vec{AB} \cdot \vec{AC} - s|\vec{AB}|^2 + t|\vec{AC}|^2 - t\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$

$s|\vec{AB}||\vec{AC}|\cos{60^\circ} - s|\vec{AB}|^2 + t|\vec{AC}|^2 - t|\vec{AB}||\vec{AC}|\cos{60^\circ} = 0$

$s(3)(4)(\frac{1}{2}) - s(3^2) + t(4^2) - t(3)(4)(\frac{1}{2}) = 0$

$6s - 9s + 16t - 6t = 0$

$-3s + 10t = 0$

$3s = 10t$

$s = \frac{10}{3}t$

また、点Hは辺BC上にあるので、$s+t=k$ となる実数$k$を用いて、$\vec{AH} = k(\frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{AC})$と表せる。（$AB=3,AC=4, \angle BAC = 60^\circ$より、$\vec{AH}=s\vec{AB} + t\vec{AC}$ とおく必要はない）

$\vec{BH} = u(\vec{AC}-\vec{AB})$となる実数$u$が存在する。

$\vec{AH} = \vec{AB} + \vec{BH} = \vec{AB} + u(\vec{AC} - \vec{AB}) = (1-u)\vec{AB} + u\vec{AC}$

$s = 1-u, t = u$

$\vec{AH} \cdot (\vec{AC}-\vec{AB}) = 0$

$((1-u)\vec{AB} + u\vec{AC})\cdot (\vec{AC}-\vec{AB}) = 0$

$(1-u)\vec{AB}\cdot\vec{AC}-(1-u)|\vec{AB}|^2 +u|\vec{AC}|^2-u\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 0$

$(1-u)|\vec{AB}||\vec{AC}|\cos{60}-(1-u)|\vec{AB}|^2 +u|\vec{AC}|^2-u|\vec{AB}||\vec{AC}|\cos{60} = 0$

$(1-u)(3)(4)(1/2) - (1-u)(3^2) + u(4^2) - u(3)(4)(1/2)=0$

$6(1-u) - 9(1-u)+16u-6u = 0$

$6-6u-9+9u+16u-6u = 0$

$-3 + 13u = 0$

$13u = 3$

$u = \frac{3}{13}$

$\vec{AH} = (1-\frac{3}{13})\vec{AB} + \frac{3}{13}\vec{AC} = \frac{10}{13}\vec{AB} + \frac{3}{13}\vec{AC}$

3. 最終的な答え

(1) $AD = \frac{\sqrt{97}}{3}$

(2) $\vec{AH} = \frac{10}{13}\vec{AB} + \frac{3}{13}\vec{AC}$