三角形ABCにおいて、AB=3, AC=4, ∠BAC=60°とする。辺BCを2:1に内分する点をD、点Aから辺BCに引いた垂線と辺BCとの交点をHとするとき、以下の問いに答えよ。 (1) ADの長さを求めよ。 (2) AHベクトルをABベクトル、ACベクトルを用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=3, AC=4, ∠BAC=60°とする。辺BCを2:1に内分する点をD、点Aから辺BCに引いた垂線と辺BCとの交点をHとするとき、以下の問いに答えよ。

(1) ADの長さを求めよ。

(2) AHベクトルをABベクトル、ACベクトルを用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) ADの長さを求める。

まず、余弦定理を用いてBCの長さを求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\angle BAC}$

$BC^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos{60^\circ}$

$BC^2 = 9 + 16 - 24 \cdot \frac{1}{2}$

$BC^2 = 25 - 12 = 13$

$BC = \sqrt{13}$

次に、BD:DC=2:1なので、BD = $\frac{2}{3}BC$である。したがって、$BD = \frac{2\sqrt{13}}{3}$となる。

次に、三角形ABDにおいて、余弦定理を用いる。

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos{\angle ABC}$

$\cos{\angle ABC}$を求めるために、三角形ABCにおいて余弦定理を用いる。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$

$4^2 = 3^2 + 13 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{13} \cdot \cos{\angle ABC}$

$16 = 9 + 13 - 6\sqrt{13}\cos{\angle ABC}$

$6\sqrt{13}\cos{\angle ABC} = 6$

$\cos{\angle ABC} = \frac{1}{\sqrt{13}}$

$AD^2 = 3^2 + (\frac{2\sqrt{13}}{3})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \frac{2\sqrt{13}}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{13}}$

$AD^2 = 9 + \frac{4 \cdot 13}{9} - 4$

$AD^2 = 5 + \frac{52}{9} = \frac{45 + 52}{9} = \frac{97}{9}$

$AD = \frac{\sqrt{97}}{3}$

(2) AHベクトルをABベクトル、ACベクトルを用いて表す。

AHはBCに垂直なので、$\vec{AH} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$とおくと、$\vec{AH} \cdot \vec{BC} = 0$となる。

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$なので、$(s\vec{AB} + t\vec{AC}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = 0$

$s\vec{AB}\cdot\vec{AC} - s|\vec{AB}|^2 + t|\vec{AC}|^2 - t\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 0$

$\vec{AB}\cdot\vec{AC} = |\vec{AB}||\vec{AC}|\cos{60^\circ} = 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 6$

$6s - 9s + 16t - 6t = 0$

$-3s + 10t = 0$

$3s = 10t$

$s = \frac{10}{3}t$

また、HはBC上にあるので、$s+t = k$とすると、$\vec{AH} = s\vec{AB} + t\vec{AC} = (1-u)\vec{AB}+u\vec{AC}$とおける。

ここで、$\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}$であり、$\vec{BH} = u\vec{BC}$

$AH \perp BC$より、$\vec{AH}\cdot\vec{BC}=0$

$(s\vec{AB}+t\vec{AC})\cdot(\vec{AC}-\vec{AB})=s\vec{AB}\cdot\vec{AC}-s|\vec{AB}|^2+t|\vec{AC}|^2-t\vec{AB}\cdot\vec{AC}=0$

$s \cdot 6 - s \cdot 9 + t \cdot 16 - t \cdot 6 = 0$

$-3s+10t = 0$

$s = \frac{10}{3}t$

$\vec{AH} = \frac{10}{3}t\vec{AB} + t\vec{AC}$

$\vec{BH}=k\vec{BC} = k(\vec{AC}-\vec{AB})$

$\vec{AH}=\vec{AB}+\vec{BH} = \vec{AB}+k(\vec{AC}-\vec{AB}) = (1-k)\vec{AB}+k\vec{AC}$

$\frac{10}{3}t = 1-k$, $t = k$

$\frac{10}{3}k = 1-k$

$\frac{13}{3}k = 1$

$k = \frac{3}{13}$

よって、$t = \frac{3}{13}$, $s = \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{13} = \frac{10}{13}$

$\vec{AH} = \frac{10}{13}\vec{AB} + \frac{3}{13}\vec{AC}$

3. 最終的な答え

(1) $AD = \frac{\sqrt{97}}{3}$

(2) $\vec{AH} = \frac{10}{13}\vec{AB} + \frac{3}{13}\vec{AC}$